范希尔几何思维水平在教育教学中的应用

文/罗红梅

几何能培养空逻辑思维能力、间想象能力，它在思维的培养中起着重要作用。几何的学习包括几何概念、几何判断、几何推理的学习，由于几何的特点较多，使得几何学习起来非常困难，如:几何推理有几何推理往往借助于直观、几何推理具有明显的层次性、几何推理方式的多样性三方面特点。教学影响学生的几何思维水平，如何有效提高学生的几何能力是教师一直努力解决的问题。范希尔夫妇在教学中发现教材中呈现的问题或作业需要的语言通常超出了学生的思维水平，他们于1957年提出了几何思维五水平，之后相继提出了与之的五个教学阶段，称为范希尔理论。

一、范希尔几何思维水平

范希尔几何思维水平由低到高分为视觉、分析、非形式化演绎、形式化演绎、严密性5个水平，后来弗斯、克莱门慈等人研究发现还有比视觉层次更低的层次存在，克莱门慈将其称为前认知水平。范希尔夫妇总结归纳出几何思维水平的特点具有次序性、进阶性、语言性、内隐性及外显性、语言性、不适配性，在运用时要考虑这些特性对学生几何思维的影响。20世纪80年代，范希尔将几何思维五水平合并为直观水平、描述水平、理论水平。

二、范希尔几何思维水平在教育教学中的应用

(一)评估学生的几何思维水平

评定学生的几何思维水平可根据范希尔几何思维水平编制测试题，按照学生对问题回答的情况评判他的几何思维水平等级，还可考察到学生的思维过程，从而调整教学计划。美国Usiskin于1982年编制的《Van Hiele几何思维测试题》，每个思维层次包括5个试题，如果学生答对该水平试题数的3/5或4/5，则学生达到该几何思维水平，如果达到某一水平但未达到前一水平，这这一水平不予认可。他编制的测试题、评定是否达到某一思维水平的方法被研究者广泛参考。Usiskin通过调查得出，3%的初中生可以达到非形式化演绎之上;范希尔几何思维水平与几何测验的分数相关性显著;一些学生的解答在两水平之间，难以认定为某一水平;学完初中几何课程以后，40%的学生未达到非形式化演绎水平;范希尔几何思维层次存在性别差异现象。

为掌握学生的几何思维水平及过程，考察我国学生有没有类似于Usiskin的研究结论，我国学者进行了范希尔几何思维水平的应用研究。他们编制试题测量学生的几何思维水平现状，并分析解答过程来改进几何教学，还比较了不同的地区、民族、性别间学生的几何思维水平差异，这些研究促进了我国几何思维的发展。

葛询自编了每水平包含三个小问题的Kasner正方形的测试题，测试中小学各年级学生的几何思维层次，验证了范希尔思维水平运用于某些具体数学问题的可行性，但此研究的试题面太窄，仅测出了学生对Kasner正方形的几何思维层次，测试结果能否反应学生的几何思维层次需要进一步研究。教学前了解学生的能力现状是十分必要的，王娟为了解七年级学生学习《相交线与平行线》前，学生的平行线的认知结构及推理认知情况，便于进行平行线的单元教学设计。她分析了教材内容的几何思维水平，小学阶段学生了解了平行线的定义和简单性质，认知水平集中在视觉、分析层次;初中在小学的基础上探索平行线的性质和判别，认知水平将提高到非形式演绎。她自编测试题考察学生平行线概念的认知、平行线的推理水平，对学生的回答情况进行了归类，统计了学生的推理水平并提出教学策略。王远帆根据Usiskin的《Van Hiele几何思维水平测试题》编制了《圆》的几何思维水平测试题并分析两套题目的相关性。他运用《圆》的测试题测试学生的范希尔几何思维水平，得出中考成绩、一模考试和Van Hiele水平之间显著相关的结论，说明Van Hiele几何思维水平愈高学业成绩越好。袁林研究了3-6岁幼儿平面几何图形辨认能力和组合能力，发现幼儿的平面几何图形辨认能力主要处在视觉水平，一些幼儿处在前视觉水平和融合水平，思维从视觉到分析;几何图形组合能力处在零散组合阶段和图像阶段，部分幼儿处在前组合阶段和形状组合阶段，思维从具体到抽象;两种能力存在明显的年龄差异、民族差异，但城乡差异和性别差异不明显，两种能力存在一定的正相关。

金美月、冯雪娇比较了汉、蒙古、朝鲜族初中生几何认知水平，发现汉蒙和汉朝学生的直观水平都存在显著的民族差异，朝蒙学生直观水平不存在显著的民族差异;蒙汉和蒙朝学生的描述水平、理论水平民族差异都显著，汉朝学生间这两水平民族差异不显著。三个民族男女生都只达到直观水平，随着认知水平的升高，女生优于男生，并分别比较分析了三个民族的男女生在每一几何认知水平的表现;三个民族学生的几何认知水平均影响数学成就。戴天羽根据范希尔三水平编制了高中生立体几何认知水平测试题，比较在辽宁地区生活环境相同的蒙、汉族学生的差异。在没有系统学习立体几何前，两民族学生的几何认知水平只达直观水平;学习立体知识后，汉族学生的描述水平比蒙古族学生好，蒙古族学生的理论水平比汉族学生好;能力不同的学生的几何认知水平有差异现象，处于同一生活环境的两民族学生的立体几何认知水平的差异不明显。

这些研究验证了运用具体几何问题考察学生的几何思维水平的可行性，也说明了部分学生的几何思维水平处于过渡期，学生的数学学习成绩与几何思维水平正相关，同一生活环境的不同民族学生的几何思维水平差异不明显，几何思维水平存在性别差异的现象。

(二)评估教材内容的几何思维水平

范希尔几何思维水平用于评估教材几何内容的几何思维水平，可以帮助教师了解教材中几何内容的几何思维水平整体分布情况，从整体把握几何内容的系统安排。教材编制者及教师可根据几何思维水平的分布情况对教学内容进行调整、改进。在几何内容的教学中，教师尤其要处理好学生的几何思维水平层次间的过渡。

庞雪兰等从“长方体的认识”看小学数学几何教材的编排，发现以长方体为代表的立体几何知识少且分散，相关知识间的系统性不强，没有充分体现长方体在发展学生的空间观念等几何思维能力的作用。王远帆分析了《圆》的教材和配套练习的思维水平，课本的内容都以分析、非形式化演绎为主，而配套的练习也是集中在这两个水平，偶尔出现形式化演绎水平。任芬芳］比较2011、2001版初中数学课程标准和人教版中“图形与几何”内容的认知水平，两版本课程标准及教材相比，知识点水平基本一致;2011版比2001版课程标准的形式化演绎的内容略有所增加;两版本版课程标准及人教版教材中每个水平的知识点分布基本一致;人教版教材中非形式化演绎和形式化演绎的知识点大部分集中在八年级。崔冉分析了上教版和人教版的知识的几何思维水平分布情况，两教材几何设计均符合范希尔几何思维水平，两版本教材内容的设置基本相同，但上教版更具范希尔几何思维水平系统性。

“相似形”是初中几何的代表性内容，几位研究者选择了此内容分析它呈现的几何思维水平情况，并比较了不同版本内容安排优势与不足。王娟玲选取初中《相似形》比较华教版和苏教版教材呈现知识活动的几何思维水平，苏教版更注重逻辑推理，它呈现的数学活动集中在较高的几何思维水平，而华师版更注重用观察、实验、动手操作等方式启发诱导学生学习几何知识，数学活动呈现的思维水平分配不均。陈迪春比较了人教版和北师大版“相似形”，他将两版本教材中每个学习活动作为一个条目归入每一水平统计分析。两教材都很注重从直观引入新概念，这有利于培养学生的几何直观与直觉，且符合思维的发展过程，但两教材对具体问题的处理差距较为明显。北师大教材动手能力要求更高，而人教版逻辑思维能力更严;人教版的问题比较零散，不具有情境性;两个教材的课程改革整体上符合心理学的研究成果，与国际几何课程改革与发展方向相同，但大大降低了对几何思维水平的要求，原因是促进学生由低向高的几何思维水平发展的策略效用不够。唐恒钧、张维忠比较我国新教材《数学·中二年级 (八年级)(下)》与美国《发现几何》的“相似形”一章内容，两国都注重从直观几何入手，但美国的内容更广、更深，系统的问题情境使得学生的几何学习总处于由问题组成的情境脉络之中。我国教材注重运用正、反例的辨析来在巩固中求发展，也有努力通过问题来提高学生思维水平，但缺乏相应的情境。

李勇比较了人教版与北师大版初中“空间与图形”各个阶段的范希尔思维水平，发现人教版对逻辑推理能力的要求高于北师大版且花课时更多，人教版以知识点为单位来设计几何思维水平的发展，内容比较连贯，很自然地引出形式化演绎推理。而北师大版对前面几个思维水平的设计与人教版类似，但从非形式化演绎到形式化演绎的过渡上，北师大版从整体上设计几何思维水平的发展更多。两个版本教材对前几节的内容安排基本一致，但在之后的内容中，人教版通过严格的形式证明作为分析与非形式化演绎的过渡，而北师大版教材引入了非形式的演绎推理作为视觉与分析水平的过渡，过渡的方式不一样。

(三)评价与反思

测量学生几何思维水平方面，研究者都是运用自编试题对学生进行测试且相关研究范围不广。使用者可能会存在理论理解不透、测试题迁移不当等现象，影响测量结果的有效性。评估教材方面，研究者评价了教材内容的几何思维水平，比较了不同版本教材几何思维处理的优势，给予教材编制者、一线教师吸收其它版本教材的编排优势之处，具有很强的参考价值，但研究不够系统。应大力在中小学教师中推广教师对范希尔理论、solo分类理论等评价方法的学习与运用，更深入细致地剖析各水平的划分标准，使一线教师使用其评估学生、教材起来都得心应手，使得教师教学中结合几何思维水平特性，提高教学效率。

［1］周超.几何推理的若干特点 ［J］.中学数学杂志，2008，(4):18-20.

［2］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程 ［M］.上海教育出版社，2009，10:4-20.

［3］王娟.七年级学生平行线概念的认知结构研究数学教育研究［J］.数学教学研究，2009，28(7):57-60.

［4］［12］王远帆.基于范希尔理论的初中几何有效教学研究［D］.广州大学，2012，5:14-63.

［5］袁林.幼儿平面几何辨认能力和组合能力的研究——以湘西土家族威力［D］.东北师范大学，2012，5:41.

［6］金美月，冯雪娇.汉、蒙古、朝鲜族初中生几何认知水平的比较研究 ［J］.民族教育研究，2011，22(6):27-28.

［7］戴天羽.高中生立体几何认知水平的比较研究 ［D］.辽宁师范大学，2012，3:22

［8］崔冉.以范希尔理论问框架的中学数学几何教材的研究［D］.上海师范大学，2011，4:32-38.

［9］王娟玲.初中数学空间与图形的教与学研究 ［D］.扬州大学，2011，5:46，58.