附加δ势垒的一维半无限深势阱

唐义甲，韩修林

阜阳师范学院物理与电子工程学院,安徽阜阳,236037

附加δ势垒的一维半无限深势阱

唐义甲，韩修林

阜阳师范学院物理与电子工程学院,安徽阜阳,236037

通过对添加δ势垒的一维半无限深势阱的薛定谔方程进行求解，得到了粒子运动的波函数和能级的相关公式。分析发现，δ势垒的添加以及它的强度与位置的变化对能级都有影响，附加δ势后,一维粒子的能量变大,能级变得复杂，束缚态增加，基态粒子受δ势影响较大；且能级越高的粒子受δ势影响越小，最后Mathematica作图显示了这一现象。

δ势垒;一维无限深势阱;定态薛定谔方程；波函数；能级

文献[1-2]讨论了一维半无限深势阱的能级问题，文献[3-4]讨论了中央含有δ势垒的无限深势阱的束缚态能级。本文讨论在一维半无限深势阱内添加一个δ势垒的情况下，它的能级将会发生怎样的变化。具体讨论δ势垒的位置或强度发生变化时，会对能级产生怎样的影响。以下采用理论分析、数值计算与作图显示相结合的方法，对这些问题进行深入探究。

1 问题及其分析

1.1 问题

质量为m的粒子在一个内部有一个δ势垒的一维半无限深势阱中运动，设势能为(图1)：

(1)

其中，μ是描述势垒位置的无量纲参数，取值区间为(0，1)。粒子的波函数与能量满足定态薛定谔方程：

(2)

图1 附加δ势垒的一维半无限深势阱

利用该方程可以计算出粒子的波函数及能级的相关表达式。

1.2 分析

考虑到势能的不连续性，粒子的波函数可以分为四段：

(3)

由于粒子束缚态粒子能量的有限性，在势能为无穷大的区间内波函数应为零，即第零段波函数ψ0(x)=0。

在势阱内部区域，定态薛定谔方程的形式为：

(4)

上式可以简化为：

ψ″+[k2-aλ2δ(x-μa)]ψ=0

(5)

其中k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

在势阱外x>a区域，定态薛定谔方程的形式为：

(7)

由束缚态条件知E

ψ″-κ2ψ=0

(8)

(9)

1.3 综合

由在x=0处波函数的连续性得到边界条件：

ψ1(0)=ψ0(0)=0

(10)

在x=μa处，由于有一个δ势垒，因此连接条件成为：

ψ2(μa+0)=ψ1(μa-0)=ψ(μa)

(11)

在x=a处，连接条件为[6]：

(lnψ3)′(a+0)=(lnψ2)′(a-0)

(12)

当x趋向无穷远时，由束缚态波函数的归一化要求，得到边界条件：

ψ3(∞)=0

(13)

2 定态薛定谔方程的解

2.1 分段解

由方程(5)得到第一段的波函数为：

ψ1(x)=Asinkx+A1coskx

(14)

考虑到边界条件(10)后，上式简化为：

ψ1(x)=Asinkx

(15)

由方程(8)得到第三段的波函数为：

ψ3(x)=Ce-κx+C1e+κx

(16)

考虑到边界条件(13)后，上式简化为：

ψ3(x)=Ce-κx

(17)

由方程(5)还得到第二段的波函数为：

ψ2(x)=Bsin(kx+φ)

(18)

于是连接条件(12)成为：

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

连接条件(11)成为：

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

2.2 整体解

综合上面的结果，得到波函数的整体表达式：

(21)

其中，系数A、B和C由连续性条件和归一化条件确定；在能量为已知的条件下，立刻可以计算出参数k,κ，而φ可由(19)或(20)式确定。

2.3 能量本征值

定态薛定谔方程是一个本征值问题，确定能量本征值在物理上有重要意义，下面来讨论如何确定能量本征值的问题。

显然(19)与(20)式为两个独立的等式，在一般情况下两者并不等价，仅仅对一些特定的能量值两者才可能一致。因此，(19)与(20)式的相容性条件就确定了能量的本征值，即能量本征值可以通过把这两个方程联立求解而得到。

下面把与能量本征值相关的所有关系式都列出来。

k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

(9)

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

显然，在上述关系式中λ,k1为参数；E可以由k确定，将k作为一个变量；因此，独立的变量只有3个，即k,κ,φ。这3个独立变量可以由3个独立的方程确定：

cot(ka+φ)=-κ/k

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k,η=aλ2

(22)

3 能量本征值的计算

3.1 方程的化简

为了便于计算能量本征值，先对方程组(22)进行化简。在(22)式中消去κ，得到:

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k

(23)

由此可以进一步得到：

kμa+φ=arccot[cot(kμa)+η/k]

(24)

两式相减消去变量φ得到：

-arccot[cot(kμa)+η/k]

(25)

上式两边求余切得到：

cot[(1-μ)ka]

(26)

上式中只有一个未知数k。

3.2 参数的约化

容易看出上式中有4个独立的参数，即k1,a,η,μ。为了便于数值计算，还要设法减少参数。

首先，进行量纲分析，发现这些变量和参数的量纲分别为：

[k]=[k1]=[η]=L-1,

[a]=L, [μ]=1

(27)

将变量和参数组合为无量纲的量，即定义新的变量和参数：

K=ka,K1=k1a,H=ηa

(28)

则方程(26)成为：

(29)

现在只有一个无量纲变量K，它的物理意义与能量有关；三个无量纲参数K1、H和μ，它们分别代表外部势垒高度、δ势垒的强度和相对位置。

4 两种情况的比较

4.1 不含δ势垒的一维半无限深势阱的情况

对于质量为m，势能为：

(30)

在0

(31)

在x>a的区域，一般解为[2,6-8]：

(32)

(33)

在x=a处，位势只有有限跃变，故波函数及其导数分别连续，或波函数对数的导数连续[5,10]：

(34)

将式(33)代入(34)得：

kacotka=-κa

(35)

式(35)无量纲化后的表达式是：

(36)

这与文献[1,6]中的结果一致。

但是(35)式中的k,κ不独立，由(31)(32)两式可得：

(37)

令ξ=ka,η=k′a，则式(35)(37)化为：

此方程至少有一个解的条件[4-5]：

(38)

若在阱口刚好出现束缚态能级，则E≈V1，所以κ≈0。由(35)式得：

kacotka=0，即coska=0，得：

由此也可验证(38)式。

4.2 添加δ势垒的一维半无限深势阱的情况

对于含有δ势垒的情况，当阱边恰好出现能级时，有E≈V1，由式(6)(9)知：κ≈0。

又由式(19)(20)知：

又在同一个周期内：kμa+φ

5 运用Mathematica作图显示δ势垒的影响

添加δ势垒后，能级的相关公式为：

(29)

令τ=log2H,取K1=10不变[10],运用Mathematicaδ势垒位置和强度求[11]。

5.1δ势垒位置的影响

当τ为0，1，2，3，…，10，μ分别取0.1到0.9之间的数值时，K的数值解(只取基态值)如表1所示。

表1 δ势垒位置的影响下μ、τ、K的基态解之间变化关系数值分析表

利用表1数据作图如下：

当τ分别取0，1，2，…，10时，K随μ的变化图形如图3。

由图3可以看出，当τ=0时，H=1,即δ势垒很低时，μ值的变化对基态能级的影响并不大，随着τ的增大，μ值的影响也越明显。当μ处于0.55左右时，对基态能级的影响最大，两侧逐渐减小。

5.2δ势垒强度的影响

当μ分别取0.1，0.2，…，0.9之间的数值，τ为-7，-6，…，-2，-1，0，1，2，3，…，10时，K的数值解(只取基态值)如表2所示。

表2 δ势垒强度的影响下μ、τ、K的基态解之间变化关系数值分析表

利用表2数据作图如图4。

当μ分别取0.1,0.2,0.3，…，0.9时，K随τ的变化图形如图4。

图4可以看出，在一定范围内K值随着τ值的增大而增大；而当τ增大到某个值或减小到某个值时，K值达到稳定不再变化。K的最小值与μ无关，约为2.85；而K的最大值随着μ的不同而有所不同。

6 特殊情形

6.1 情形一

当τ→-∞时，H→0，此时模型变为一维半无限深势阱。

由上文讨论的不含δ势垒的一维半无限深势阱的情况可知与能级有关的表达式为：

(36)

同样地，取K1=10，运用Mathematica求得基态时K≈2.8523，这与图4中τ→-∞时所得结果一致。

6.2 情形二

由一维无限深势阱的能级公式得：

表3 δ势垒的影响下一维无限深势阱的基态能级下μ、K之间变化关系数值分析表

同样地，取K1=10，运用Mathematica求得μ取不同的值时对应的基态K值如表4所示。

表4 δ势垒位置的影响下一维半无限深势阱的基态能级下μ、K之间变化关系数值分析表

综上可知，当μ取不同的值时，整个一维半无限深势阱中，当τ→∞时对应的基态K值如表5所示。

表5 δ势垒强度的影响下一维半无限深势阱的基态能级下μ、K之间变化关系数值分析表

这与图4中τ→∞时所得结果一致。

6.3 情形三

当μ=1/2，V1=∞，即K1=∞时，该模型成为中央有δ势垒的无限深势阱，将条件代入(29)式得到：

(33)

(34)

(35)

这个结果与文献[3]所得结果完全一致。

7 结束语

通过上面的理论推导与数值分析，讨论了在添加δ势垒的一维半无限深势阱中运动的粒子的能级的影响因素，得到了如下结论：

(1)对于给定势垒高度K1的一维半无限深势阱，δ势垒的添加会使束缚态能级的量值增加，能级个数减少。

(2)通过数值计算及作图分析，发现δ势垒的强度与位置对能级都会产生影响。当δ势垒处于势阱中心偏右位置时能级最大，在K1=10的情况下，μ≈0.55，δ势垒的强度H越大,位置的影响越明显。

(3)当δ势垒的位置一定时，δ势垒的强度H越大，能级越大。当H→∞时，势阱分裂为一维无限深势阱和一维半无限深势阱两部分，并且由这两部分求的基态能级与本文公式(29)中当H→∞时求得的结果一致。

(4)适当选取参数发现文献[1][2]和[3]中的结果都是本文结果的特例，这表明了本文结论的普遍性和正确性。

[1]曾谨言．量子力学[M].北京：科学出版社，1982:69-70

[2]史守华.量子力学考研辅导教材[M].北京：清华大学出版社，2003:4-5

[3]李明明，陈岗．无限深方势阱附加δ势后的定态解[J].山东师范大学学报:自然科学版，2004，12(4):96-97

[4]井孝功，陈硕，赵永芳．方形势与δ势解的关系[J].大学物理，2004(12):18-20

[5]钱伯初，曾谨言．量子力学习题精选与剖析[M].2版.北京：科学出版社，1999：2-4

[6]周世勋．量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，1979：19-20

[7]朱文熙，王玉平．对称双方势阱能级无简并[J].大学物理，1999(2)：32-33

[8]尹健武，冯杰，陈娇.一维高低不对称方势阱问题的数值方法[J].黄冈师范学院报，2005，12(6):26-29

[9]王柏庐.平面波通过强度不相等的两个δ势垒问题的求解[J].大学物理，1998,17(1)：24-26

[10]曾谨言，钱伯初.量子力学专题分析[M].北京：高等教育出版社，1990：17-25

[11]嘉木工作室.Mathematica应用实例教程[M].北京：机械工业出版社，2002：212-323

(责任编辑：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.07.026

2015-01-30

国家自然科学基金项目“耀变体多波段光变特征研究”(11273008) ；阜阳师范学院教学研究项目“大学物理课程三维教学手段的改革与实践”(2012JYXM61)；阜阳师范学院基础教育研究项目“中学物理课堂演示实验的研究与实践”(2012JCJY21)。

唐义甲(1984-) ，安徽枞阳人，硕士，助理实验师，主要研究方向:非线性光学材料高能粒子束辐照改性及防护。

O469

A

1673-2006(2015)07-0093-06