准周期性光学晶格中BEC孤子动力学特征的研究

陈顺芳，徐四六

(湖北科技学院 电子与信息工程学院，湖北 咸宁 437100)

准周期性光学晶格中BEC孤子动力学特征的研究

陈顺芳，徐四六

(湖北科技学院 电子与信息工程学院，湖北 咸宁 437100)

本文研究了二维厄米特光晶格中BEC孤子的动力学特征，结合二维的G-P方程，采用分步傅里叶算法，模拟了光在二维厄米特光晶格中的BEC孤子的分布特性。结果表明周期性光学晶格可以控制BEC孤子分布，可作为有效的、可控的物质波孤子控制器和分裂器。

玻色-爱因斯坦凝聚；G-P方程；光学晶格；BEC孤子；分步傅里叶算法

孤子是非线性科学中的一个非常重要的课题。自从孤子现象被发现后，孤子的研究得到了快速发展。在介质中传播的波，其波形通常会逐渐弥散直至消退。而孤子就是波在不变形的状态下传播一段距离的现象。产生孤子的必要条件是存在非线性。使孤子能够产生并维持波形稳定不变则要求系统的非线性和系统其他的物理效应(如光纤中的色散效应、光折变介质中的衍射等)共同作用来维持。BEC孤子的主要特征是稳定性、局域性和波粒二象性。由于孤子具有的这些特性，孤子系统在现实世界有着广泛的应用潜力(如通过对光孤子的研究使长距离、大容量光纤通信成为可能)。因此，孤子的形成及其特性研究在目前是一个十分诱人的课题。

目前，在实验中，光晶格(optical lattices)已成为研究BEC相性质、宏观量子性质、物质波干涉以及从Mott绝缘态到超流态相变等问题。BEC被视为单一的原子波，孤子现象已经在光晶格中的BEC中被观察到，其行为决定于原子之间的相互作用。理论上，人们采用不同的方法对光晶格中的BEC孤子的动力学行为进行了大量的研究。然而，关于准周期性光学晶格对BEC孤子的动力学行为的研究，确鲜有报道。

本文基于二维的G-P方程，在前期研究的基础上，采用分步傅里叶算法模拟了在二维厄米特光晶格中BEC孤子动力学特征，研究表明二维厄米特光晶格可以调控BEC孤子，使之具有空间准周期性和对称性。

一、理论模型

单个BEC在二维光学晶格中传输遵从下面归一化方程：

(1)

R(r)=Hm(x)Hn(y)e-1(x2+y2)

(2)

其中Hm(ξ)=(-1)ne-ξ2(n=1,2,3…)为厄米多项式，m和n为厄米特函数的阶数。

二、孤子的形成与分布

由于非线性偏微分方程(1)不易解析求解，故采用分步傅里叶变换方法进行数值求解。下面的图1-2描绘的是在二维厄米特晶格中作用下，凝聚体的原子数密度(|u|2)随时间的变化关系。在数值模拟中，设定初始凝聚体原子数密度的空间分布为高斯型u0=e-(x2+y2)，时间为t=120。

图1描述的是阶数对称的光晶格和BEC孤子的空间分布特征。图1中A,D,G分别为阶数m=n=1,2,3的晶格在X-Y平面的强度空间分布图。可以看到晶格分布具有空间对称性，共有(m+1)(n+1)个极大值强度分布点。第二、三列分别为BEC孤子在 时的三维分布图和在X-Y平面上的分布图。可以看到BEC孤子的排列具有高度的空间周期性和对称性，孤子个数为(m+n)个；有趣的是，当m和n的值较大时(m=n≥3)，孤子的振幅和强度不再相同。进一步研究发现，当厄米特晶格势中的阶数m=n，且取较大的值时(例如m=n=5,6)，形成的孤子的空间周期性与对称性受到一定影响，孤子间发生了融合，孤子个数不等于(m+n)个。

图1 光学晶格图(A,D,G)与BEC孤子在 时的分布(三维B,E,H,二维,C,F,I)，此时相关的晶格阶数( 分别对应于第一、二、三行)

图2描述的是阶数不对称的光晶格和BEC孤子的空间分布特征。高斯光在厄米特晶格中能形成容易观察和控制的孤子序列。由图2中的A,B,C可以看到，当厄米特晶格晶格势中的参数m和n不等，且取特殊的值时(例如本文中取的m=1，n=2),形成的孤子具有空间周期性与对称性，且孤子个数为(m+n)；当厄米特晶格势中的阶数m和n不等(例如本文中取的m=2,n=3)，我们发现形成孤子的幅值不再相等，空间分布不具有对称性。当晶格的阶数进一步增加(见图2中的G,H,I)，可以看到，BEC个数孤子排列仍不具有空间对称性和周期性，孤子在形成过程中发生了融合，其个数不等于(m+n)。

图2 光学晶格图(A,D,G)与BEC孤子在 时的分布(三维B,E,H,二维,C,F,I)，此时相关的晶格阶数(第一行m=1,n=2; 第二行m=2,n=3; 第三行m=3,n=4)

下面探讨加入白噪声对光晶格中BEC孤子稳定性的影响。在数值模拟中，设定初始BEC分布为高斯型，所取的时间间隔分别为20,150和300，取厄米特晶格势中的参数m=n=4(见图3)。我们发现，孤子在形成过程中发生了融合。通过分析加入白噪声Ω=0.6(D,E,F)和没有加入白噪声(A,B,C)的孤子分布，研究表明，即使加入白噪声，BEC孤子传输是稳定的。

图3 BEC孤子在不同时间 时的空间，不加白噪声(A,B,C)和加入白噪声 (D,E,F)，此时相关的晶格阶数m=n=4.

三、结论

本文研究了二维厄米特光晶格中BEC孤子的形成特征和稳定性。结果表明，准周期性的二维厄米特光晶格可以操纵和调控BEC，使之具有空间周期性和对称性，并能形成稳定性的孤子。该研究为二维准周期性光学晶格作为有效的、可控的物质波孤子控制器和分裂器的制作提供理论依据。

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2095-4654(2015)06-0034-02

2015-04-09

湖北科技学院教学项目(2012X021B)；全国大学生创新创业计划项目(201210927052)

TN929.11

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