一元二次方程实根的分布问题的教学设计

河北省唐山市开滦第二中学 刘红兰

一、教学内容分析

本节内容是选自于普通高中课程标准实验教科书，人教版数学必修1第三章函数的应用的一节专题课，是作为初高中二次函数知识的衔接与整合，是对函数的零点与方程的实根的知识的综合考查与灵活应用。这部分知识在初中代数中虽有所涉及 ，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理的运用。

二、教学重点与难点

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布

教学难点：一是将图形问题等价转化成不等式组；二是快速准确求解(1)中的不等式组。

三、教学目标

第一，知识与方法：掌握一元二次方程实根的分布问题的处理方法；增强学生解决不等式及不等式组的计算能力；培养学生数形结合的能力，进一步理解函数与方程的关系。

第二，过程与方法：体会在解决一元二次方程实根的分布问题的过程中数形的转化，让学生经历分类讨论、类比-化归、观察总结的能力。

第三，情感、态度与价值观：让学生体会函数与方程的“形与数”“动与静”“整体与局部”的相互转化内在规律、内在美；体会发现规律的快乐。

四、学情分析

高一学生在初中时对二次函数及一元二次方程有较深的理解，现又刚刚学习了方程的根与函数的零点内容，已做好了知识的铺垫。但是对高一学生来说，对数形的相互转化还很陌生，常常把函数的数和形割裂开来，学习本节内容时学生最先想到的是韦达定理、求根公式，即应用函数的意识很差，所以在本节教学中，从学生的已有经验出发，一步一步、由浅入深慢慢的引导学生逐步解决问题。

五、教学资源设计

教学理念：本课教学始终坚持“一个理念”——自主学习自主发展，采用问题教学法，即提出问题——探索问题——解决问题——发现新问题——解决新问题……本节课的教学设计正是以此为指导，以促进学生自主学习自主发展为目标，加强了对学生多元智力的培养。

学习方式的指导：本节课注重了以下三种学习方式的指导：自主性学习、探究性学习、合作性学习。

设计问题遵循从具体到一般的原则，由特殊问题提出引申到一般问题，提高学生综合总结归纳的能力。

教学手段：下发导学案，且利用powerpoint做成幻灯片，利用电子白板在课堂上展示给学生，一目了然。

六、教学过程及设计意图

第一，本节课的学习目标学习、重点、难点：请同学们看屏幕PPT。设计意图：让学生明确本节课的目的。

第二，复习回顾：1、什么叫函数y=f(x)的零点？2、方程f(x)=0的实根、函数y=f(x)的零点、图像之间有什么关系？设计意图：温故知新。

第三，循序渐进。

引例：关于x的方程x2-x+a=0分别满足下列条件，求参数a的取值范围：（1）有两个不等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）没有实根？

解：（1）由△＞0得

归纳：当x为全体实数时的根

（1）当时，方程有两个不相等的实数根

（2）当时，方程有两个相等的实数根

（3）当时，方程没有实数根

设计意图：因为这个问题初中已学过，较熟悉，学生很快解决，目的是让学生回忆总结初中所学。

例1.已知方程x2+(a+1)x+a=0有一个正根一个负根，求实数a的取值范围？

法1：先求方程的根为x=-1或x=-a，若要满足题意只要让-a＞0，所以a＜0.

法2：利用 x1x2＜0，即a＜0.

法3：设画出图像并观察，

得即a＜0.

小结：这三位同学的做法都很好！法1是代数法，先将方程的根求出来，后若满足题意，直接由条件列出不等式得结论；法2是韦达定理法，利用韦达定理列出不等式得结论；法3是几何法，利用二次函数的图像与X轴交点的横坐标满足的条件列出不等式求得。

变式1-1.若方程有两个正实根，求实数a的取值范围？

法1：设画出图像并观察，得所以得 a≥4

法2：设此方程的两个根为x1、x2，由得a≥4.

师：法1是几何法，法2是韦达定理法，法1法2较好。

下面请做变式1-2.若方程有两个负实根，

求实数a的取值范围？

法1：用几何法，设画出图像并观察，得所以得a≤0.

法2：设此方程的两个根为 x1、x2，由得a≤0 .

小结：针对这种题，我们可以用两种方法——代数法、几何法来解决。

设计意图：学生在初中学过韦达定理，但中考不考，故在初中有的老师讲，而有的老师不讲，学生不熟悉，但高中必须要掌握。例1的方法1学生易得；但方法2要求学生必须掌握；方法3学生由熟悉到不熟悉，由不知到知，让学生初步应用数形结合的思想方法解决问题，并让学生明确哪一种方法较好。

例题2：若关于x的方程两根均在区间（0,1）内，求实数m的取值范围。

各小组可讨论探究，教师巡视。

解：设因为x的方程两根均在区间（0,1）内，如图，则有后求解即得结论。

设计意图： 本题是方程的两根在开区间内分布，逐步引导学生利用数形结合法，由易到难，培养学生观察问题、解决问题的能力。

例题3：若关于x的方程两根中一个小于0，另一个大于1，求实数m的取值范围。

解：设因 为x的 方 程两根中一个小于0，另一个大于1，如图，则有后求解即得结论。

变式.若关于x的方程两根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1,2）内，求实数m的取值范围。

解：设因为x的方程两根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1,2）内，则有后求解即得结论。

思考题：若关于x的方程两根均在闭区间[0,1]上，求实数m的取值范围。

课堂小结：本节课所用的数学思想方法有：数形结合法；等价转化法；分类讨论法

最后，布置作业：完成导学案。

七、反思

本节课是一节示范课，在课上学生积极回答问题，思维敏捷。在课上，引例、例1学生都很顺利的利用判别式、韦达定理解决了，例1顺利说出前两种方法后，但第三种方法数形结合法，学生感到还是有困难。存在的问题是上完本节课之后，感觉没有完全相信学生，未放开手脚，还是课上帮学生设置的较多。如果课上增加出题环节，变式题由学生自己编写，就更好了。