一类具有二维捕食与被捕食关系的永久持续生存问题

祝占法

(陕西航空职业技术学院 文理学院，陕西 汉中 723102)

一类具有二维捕食与被捕食关系的永久持续生存问题

祝占法

(陕西航空职业技术学院 文理学院，陕西 汉中 723102)

利用诱导控制理论研究了具有二维捕食与被捕食关系的种群动力学系统，并对系统施加控制，得到了系统永久持续生存的控制律及控制区域。

捕食与被捕食；诱导控制；永久持续生存；诱导控制区域

1 问题的提出

Stanisla在1998年出版的《Control of Indefinite Nonlinear Dynamic Systems：Induced Feedback》中，用诱导控制理论研究了种群的永久持续生存问题，其研究对象是不考虑种群密度制约下的捕食与被捕食系统[1-2]：

(1)

其中ε1，ε2，r1，r2均为正数，N(N1(t0)，N2(t0))>0是系统的初始点，这里假设捕食者仅以食饵为生，且忽略密度制约的因素。

文献[3]对该系统给出了4种不同的诱导控制，即

得到了相应的控制区域和控制函数。在其他文献中也有此方面的研究[4-7]。本文将对其进行补充，给系统(1)施加另外的控制u1，u2，得到受控系统

(2)

下面运用诱导控制理论使系统(2)达到永久持续生存。

2 问题的解决

对于系统(2)，可以得出下面定理。

定理1 对事先给定的数σ>0，设

Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，

(3)

其中M1-σ<ε2/r21，M2-σ>ε1/r12。则控制

分析：用诱导能控理论只需证明存在一个区域Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，在有限的时间内，使得系统(1)的解进入区域Ωσ并保留在此区域中。

例3 点P为等腰三角形ABC内的一点，∠BAC=120°.且P到△ABC三个顶点A、B、C的距离分别为PA=a=1,PB=b=2,PC=c=2.求△ABC的面积.

考虑下面控制

其中K1>r12，K2>ε2，设

B1={(N1，N2)∈R+2∶‖N1-M1‖≤σ，N2>0}，

B2={(N1，N2)∈R+2∶‖N2-M2‖≤σ，N1>0}，

带B1和B2相交的部分Ωσ(两组虚线围成的区域)如图1所示。从图1可以看出，第一象限被带B1和B2分成4部分。按逆时针记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。

图1 被B1，B2分割的区域

在部分Ⅲ中，有

在部分Ⅳ中，有

下面讨论无论初始点(N10，N20)在哪个区域，系统(1)的轨线最终进入区域Ωσ。

2.1 对情况1的讨论

2.2 对情况2的讨论

如果点(N10，N20)在部分Ⅲ中，同样，我们可以证明系统(1)的轨线进入带B2中，且永久留在里面。

2.3 对情况3的讨论

如果点(N10，N20)在部分Ⅱ中，系统(1)的线会出现下面3种情况之一。一是系统的轨线经过l2：ε1-r12N2=0后进入B中；二是系统的轨线经过N1=M1-σ后进入带B1中；三是系统的轨线经带B1进入区域Ⅲ中，接下来用情况2来处理。

2.4 对情况4的讨论

如果点(N10，N20)在部分Ⅰ中，系统(1)的轨线会出现下面两种情况之一。一是系统的轨线经过N2=M2+σ进入带B2；二是轨线经过N1=M1-σ进入带B1中。

无论哪种情况发生，系统(1)的轨线最终都会进入区域Ωσ。现在用反证法来证明这一结论。

图2展示了系统(2)的轨线行为，从上面的定理可知：系统(2)的轨线最终会进入到一个远离坐标轴的区域Ωσ，进而有下面的推论。

推论 如果定理1的所有条件成立，则系统(1)是永久持续生存的。

图2 系统(2)的轨线行为

3 结论

通过本文的讨论得出这样的结论：对于同一个种群的动力学系统，如果给出不同的诱导控制区域，那么就可以找出不同的控制函数。所以诱导控制理论在种群动力学系统中应用的关键是确定诱导控制区域，寻找控制函数。从控制函数的形式，可以证明控制函数是连续的，同时可知，在Ωσ已知的情况下，如果u1，u2被施加在系统上，则可使得系统(1)的轨线进入Ωσ，即u1，u2是针对Ωσ的诱导控制，这就是诱导控制的具体含义。

[1] 陈兰荪.数学生态模型与研究方法[M].北京：科学出版社，1988：199-231.

[2] 陆征一.数学生物学进展[M].北京：科学出版社，2006：131-171.

[3] Thome M.Lecture notes in control and information science：231[M].London：Springer Verlag，1998，140-153.

[4] 祝占法.具二类功能反应的捕食与被捕食系统的诱导控制[J].温州大学学报，2009：30(4)：30-37.

[5] 赵立纯.具有阶段结构单种群系统的诱导控制[J].物理学报，2005，25(A)：710-717.

[6] 赵立纯.一个具有偏害关系的三种群模型的诱导控制[J].生物数学学报，2005，20(1)：37-42.

[7] Zhao L C.Induction control of a two-species competiti-ve system[J].Journal of Biomathematics，2003，18(3)：263-268.

(责任编校：夏玉玲)

On Permanence of Two-Dimensional Predator-Prey Relationship

ZHU Zhan-fa

(College of Arts and Science， Shaanxi Aviation Professional Technical Institute，Hanzhong China， 723102)

In this paper， the induction control theory is applied to study the population dynamics system of two-dimensional predator and prey relationships， and the system is under control in order to obtain the control law and the control area for permanent survival.

predator and prey；induction control；permanent survival； induction control area

O152.8

A

1672-349X(2015)03-0016-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.006