高中数学中的数列问题

陈前进

摘  要：数列一直都是一个特殊的数学问题，它既是一系列有规律的数字，同时又代表着某一曲线上的一些特殊的点的组合。高中数学涉及到数列的问题，大部分都是根据有限的数字找到这种特殊的规律，或者将数列作为特殊的函数上特殊点的像，从而实现数列与函数或者曲线之间的相互转化。本篇文章从理论结合实例的角度讲解了高中数学中重点知识点数列的一些经典问题和常见解法，希望能够对广大的高中学生起到一定的帮助。

关键词：高中数学;数列;经典

数列是高中数学知识体系中一个重要的知识点，它不仅代表着高中数学一中与众不同的思维方式，同时也是对高等数学中的矩阵或者行列式等进行一个基础的演示，使学生提前获得一些最基本的概念，为日后在数学方面的进一步学习打下一定的基础。

高中数学中数列知识体系包括了数列的基本概念、数列通项式和数列的扩展三个方面。数列的基本概念已经不需要赘言，数列通项式是数列中知道数列中一个数来求取后一个数字的规律，是一个重要的概念和知识要点。求取数列的通项式有很多的方法例如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等，涉及到的数学思想主要包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

一、数列通项式的求解方法

函数通项式是数列的最重要的特点和概念，就如一个数列的DNA一样，用来表明数列之间本质上的不同，同时也成为数列考试设计题目的一个重要方式。求解数列多项式的方法有很多，包括观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等。

1.观察法求解通项式

给出多项式中的几个项，然后根据这几个项求取中整个数列的通项式，然后根据通项式来求解出任意的一个项，这是最容易出题的一个思路和方面，也是最基础最最重要的方法。

例：给出一个数列的几个项如下：1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，请跟据上面的几个项求出这列数中的x代表什么？

这个题目虽然简单，却是学习数列最基础最重要的一个范例。事实上，无论做任何关于数列的题目甚至求解任何数学题目，对于题目的观察和对信息的抓取都是最重要的第一步。通过观察，我们发现，第三项2是第一项1和第二项1的和，而第四项3又是第二项1和第三项2的和，根据这个规律，我们不难发现，后一个是它本身前两个之和，于是通项式可以写作：an=an-1+an-2（n≥2）。根据这一个范例我们可以举一反三列出更多的题目，比如已知一列数为1，1，1，2，3，4，6，9，13，x，28，41，求解x。在这里，我们必须先对数列中的项进行观察，对于通项式大胆假设然后小心求证，只要自己的假设能够满足数列中的规律，那么自己的假设可以认为是正确的。观察法和假设法是求解数列问题的一个基本方法组合，也是学生必须掌握的基本技能。

二、与数列相关的数学思想

在高中数学的学习过程中，除了掌握一些基础的数学知识和解题技巧以外，对知识和题目之后蕴含的数学思想进行掌握显得更加重要。那么，与数列相关的数学思想包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

1.函数与方程的思想

数列中蕴含的函数与方程的思想主要表现为在数列的一些未知项往往以多项式的方式表达出来，而多项式的表达往往通过方程的方式，从另一个角度来看，数列与多项式又都是函数上的一些不连续的数值，也就是函数图像上的一些散点，这些散点又有着内在的规律，这个规律就是前面说到的数列的通项式。数列与函数的结合通常出现在综合性较强的题目当中。

例：已知在正项数列{an}中，a1=2，且在双曲线y2-x2=1上，数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线上，其中Tn是数列{bn}的前 项和，①求数列{an}的通项公式;②求证：数列{bn}是等比数列。

这不仅是一个函数的问题，同时是一个函数与双曲线进行结合的题目，这类题目通常第一问题都比较简单，也是帮助解题者找到解题道路的一个思路。

解：①由已知带点在y2-x2=1上知，

an+1-an=1，所以數列{an}是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以

②因为点（bn，Tn）在直线上，所以 ，所以 ，二者相减得：，所以bn=bn-1，于是令n-1得，b1=b1+1，所以b1=，所以{bn}是一个以为首项，以为公比的一个等比数列。故。

通过函数与方程的思想将数列的问题转换为函数或者方程，有时会转换成为不等式进行求解，这是数学中的转换的方式，当不同的数学知识进行相互装换的过程中，对于高中数学整体的认识会进一步得到提升。

2.数列中的分类与讨论思想

分类与讨论思想是数学严谨性的重要体现，在数列中也时常体现。讨论的对象主要是一些比较特殊的函数例如对数中的底不能为1等，或者分段函数等，都对数列本身产生较大的影响。

例：已知数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2，（1）求数列{an}的通项公式;（2）求数列{|an|}的前n项和Tn;

数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2是一个开口向下的一元二次函数，那么在求取通项公式时就分为n=1和n≥2两种情况;由于函数的图像被x轴切割，其绝对值也被分为两段，这两段分别为不同的多项式来表示。

三、总结

高中数学中的数列问题是一个重点知识点，对于很多学生而言数列与其他的知识点有形式上的不同，于是就成为了一个难点。在掌握基础知识和数学思想的同时，通过练习来积累解题的经验，通过对这些经验的思考来感悟其中的数学思想，两者相辅相成，必然能够学好这部分的知识。

参考文献：

[1]史立霞，秦振.数列中的分类讨论问题[M].高中数学教与学，2012（19）.

[2]郭刚.等比数列的分类讨论[M].数理化学习，2012（9）.

（作者单位：湖北鄂州市华容高中）