初中几何教学中数学思维能力与思想方法的培养

岑艳

[摘 要] 笔者在教学交流中发现，大多数初中生的逻辑推理能力甚为薄弱. 究其原因，主要是教师在“教”与“学”的过程中，忽视思维能力的训练，极少顾及分析能力的培养. 因此，本文主要从想象力和问题解决方法两个角度阐述了初中数学思维方式与思想方法的训练和培养途径.

[关键词] 几何；思维能力；思想方法

《数学课程标准（2011版）》“课程的基本性质”明确将“培养学生的抽象思维和推理能力”列为课程性质的一部分；在“课程的基本理念”中，“课标”指出，应关注教学内容中“蕴涵的数学思想方法”；“课标”还多次述及对学生推理能力和模型思想的培养，“课标”指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”，“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中”. 深入学习和理解“课标”的这些思想理念，将使我们深刻领会初中数学教学中对学生进行思维能力和思想方法培养的重要意义. 就此，笔者试结合教学问题实例，探讨一下初中数学教学中数学思维能力和思想方法培养的方法和途径.

夯实基础，发挥想象

任何一门学科，均须具备扎实的基础，方能有水平的提高、层次的飞跃. 基础是奠基石，没有稳健的基础，谈其他也只是镜花水月而已. 所以，几何基础的夯实，实为重中之重. 有了基础，又如何去应用呢？首先，想象力是几何逻辑中不可缺少的要素. 想象力，就是形象思维或直觉思维能力. 对它的培养，可以从三个方面去开发.

1. 全面地思考

全面地思考是指同一个问题从多方面、多角度去观察思考和深入分析，从而确立解题的多种方案.

如图1所示，A，B为直线l上两点，D，C分别位于直线l两侧，且BD=BC，AD=AC，EF垂直l于点O，且被直线l平分. 求证：DE=CF.

分析 要证明DE=CF，须作辅助线BE，BF，证明△BED≌△BFC即可. 通过观察我们还发现，此题为对称图形，根据条件，也可证明线段DE，CF关于直线l对称，从而得到DE=CF.

2. 广泛地联想

在几何教学中，如能引导学生进行广泛联想，会取得意想不到的教学效果. 譬如，在给初三学生讲述怎样测量不规则石头相对两点的距离时，应鼓励他们运用己学的初中知识广泛地展开联想. 结果出乎我的意料，归结起来，解答方法竟有十几种之多. 有的学生用全等知识；有的学生用相似知识；有的学生用解直角三角形的知识；有的用中位线；有的用比例线段；有的用坐标系；有的干脆用卡钳直接测量……

通过这节课的归纳，大大地加强了知识的链接，扩展了学生的视野，增强了他们的求知欲.

3. 大胆地猜测

猜测，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思维活动过程. 通过猜测不仅可以得到解题结论，还可以获得解题途径. 但是，值得注意的是，由猜测得出的结论不一定可靠，其正确性必须经过严格的逻辑证明或实践检验.

例如，如图2所示，⊙O■与⊙O■外切于点A，线段BC过点A分别交⊙O■与⊙O■于B，C两点，BD切⊙O■于点D，交⊙O■于点E. 求证：AD2= AE·AC.

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分析 首先，不妨大胆地猜测，AD2=AE·AC与这三条线段所在的三角形——△AED，△ADC有关，从而自然地得出辅助线DC. 根据弦切角定义，有∠EDA=∠ACD，这时，猜测自然停驻在△AED与△ADC是否相似的问题上. ∠EAD是等于∠ADC呢，还是等于∠DAC呢？EA与DC不一定平行，所以∠EAD很有可能等于∠DAC. 此时，扎实的基础显示出了重要的作用，我们知道，两圆相切，往往作出两圆的切线辅助解题，即过点A作切线MN交BD于点F，因为∠FAD=∠ACD =∠FDA，∠EAF=∠B，所以∠EAD=∠B+∠BDA. 又∠DAC=∠B+∠BDA，所以∠EAD=∠DAC. 所以△EAD∽△DAC. 所以AD2=AE·AC，原命题得证.

在问题解决中注重数学思想方

法的运用

1. 条件推理法

这是解答几何题目的常规方式，分为正向推理与逆向推理两种.

正向推理，就是从题目给出的已知条件中，顺藤摸瓜，推导出与结论相符合的条件，从而找出解题途径的方法；逆向推理，就是从问题的结论入手，推导出与已知相符合的条件，从而找出解题途径的方法. 我们不妨举一个例子：如图3所示，在正方形ABCD中，AE交CD于点E，且AE=BC+CE，M为CD的中点. 求证：∠DAM=■∠BAE.

分析1 （正向推理）：因为AE=BC+CE，BC=DC，所以我们将BC+CE这一条件转化在一条线段上，即延长DC至点F，使CF=BC（如图4），这样就有BC+CE=EF=AE，所以∠2=∠F. 连结AF交BC于点G，则有△ABG≌FCG，∠1=∠F=∠2，BG=CG（即G为BC中点）. 又M为DC的中点，可证△ABG≌△ADM ，从而得出∠DAM=∠1. 所以∠DAM=■∠BAE.

分析2 （逆向推理）：要证明∠DAM=■∠BAE，很显然我们需作∠BAE的平分线. 如图5所示，作∠BAE的平分线AF交BC于点F，这样∠1=∠2. 如能证明△ABF≌△ADM，问题就迎刃而解了. 可是条件不够，须证明点F为BC的中点. 我们很容易观察到，过点F作AE的垂线FG，则△ABF≌△AGF，有BF=FG，AB=AG. 根据条件AE=BC+CE很容易得出GE=CE，于是连结EF，就可以得到Rt△FGE≌Rt△FCE，从而得出FG=FC，进而得出BF=CF，即点F为BC的中点.

从上述例子我们可以看出，思维方式不一样，得出的解题途径也大相径庭.

2. 数形结合法

在初中数学中，学生很容易将代数与几何分开，把它们看做两门学科，这一思想让学生在推导几何的环节上放不开手脚. 实际上，代数知识在几何中的运用非常广泛，如勾股弦数的演化，解直角三角形中正、余切与正、余割的演化等，都离不开代数知识的运用，代数中的函数也渗透了几何思想. 在初中数学教学中，教师要指出代数与几何的一体性，某些代数知识推导的几何问题，教师可重点阐述.endprint

3. 等积求值法

等积求值法，就是利用同图形面积相等，得出方程，从而解得未知的方法. 此种题型，往往作辅助线也无济于事，但只要换一种思维、换一种角度，用等积列出等式，问题立即化难为易.

例如，如图6所示，在平行四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD边上的高，∠B=■∠BAD，AE=8，EC=3.46，求AF的长.

分析 乍看此题，要求AF的长，需知道AD与DF的长，再用勾股定理解答. 但是，通过分析，DF的长很难求出. 运用等积求值法，会取得明晰的效果. 因为∠B=■∠BAD，所以可推出∠B=30°，于是AB=2AE=16. 用勾股定理可得出BE=8■，BC=BE+EC=8■+3.46. 因为AB=CD，所以CD=16. 根据平行四边形ABCD的面积一定，得BC·AE=CD·AF，将上述求出的值代入式中，即可求出AF的长.

4. 内阻外找法

有一些几何题目，在图形内思考不能找出解题途径，这时不妨从图形外去分析、尝试.

例如，如图7所示，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，∠ADC=120°，求AD与BC的长.

分析 初看此题，很有可能是作辅助线BD，但通过推理，无法求出AD与BC的长. 容易发现，∠B=60°，延长AD和BC交于点E后便得到特殊的Rt△BAE和Rt△EDC，于是由∠E=30°可求出DE=2CD=2，CE=■·CD=■，AE=■·AB=2■，BE=2AB=4，从而得到AD=AE-DE=2■-2，BC=BE-CE=4-■.

像上面这样，在几何图形的内部找不出解题途径，而从图形外延去寻求解题途径的方法，叫做内阻外找法.

此外，还有诸如反证法、填充训练法、辅助线补全法、寻求多种解题途径等方法，限于篇幅，这里不再一一赘述.

几何是一门比较抽象的学科，比较讲究逻辑推理的严密性，其解题途径的探索，除教科书上介绍的一般方法外，还需要广大师生去寻求、创新、归纳，以达到传道、授业、解惑的彼岸.

5. 分类讨论法

分类讨论，即根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象分为不同的种类. 分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的规律. 所以，分类是近代和现代数学中一种重要的思想方法. 作为数学教师，应在教学中明确教给学生分类思想，培养辩证思维，及时纠正学生的知识结构网络. 这样，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力.

例如，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.

为了理解数轴的实质，教师必须在教学中运用分类思想，教会学生在数轴上“0”是分界点，它将实数分成了两部分，正实数在0的右边，负实数在0的左边. 在此基础上，教师还应让学生树立数形对应观念，了解有理数扩展到实数以后，数轴上每一个点都可以由唯一的一个实数来表示；反过来，每一个实数，都可以用数轴上的唯一的一个点来表示. 即实数和数轴上的点一一对应，这样便使学生较深刻地掌握了数轴概念.

又如，解不等式kx2-3（k+1）x+9 >0. 当k=0时，上述不等式为一次不等式；当k≠0时，上述不等式为二次不等式. 这是质的不同，决定了解法不同，故需分类讨论.

总之，学生在初步掌握了新知识之后，教师需要系统地去探索、去归结提炼、去传授几何应用的方法技巧及解题规律. 只有这样，才能在数学教学中有机地训练学生的数学思维方式与思想方法，才能符合新课程理念和新课标要求.endprint