基于“过程教育”的“一元二次方程的解法”教学实录及说明

邬云德

[摘 要] 通过“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思，初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.

[关键词] 过程教育；一元二次方程的解法；教学探索；教学说明

课例背景

“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果形成与应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思过程的育人活动. 浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“2.2 一元二次方程的解法（第1课时）”是认识一元二次方程的继续——从一元二次方程的概念到一元二次方程的解法. 因式分解方法是解一元二次方程的基本方法，用因式分解法解一元二次方程的技能是进一步学习数学的基本技能；研究用因式分解法解一元二次方程的“基本套路”具有普遍适用性. 生成用因式分解法解一元二次方程的原理及用因式分解法解一元二次方程的方法的过程和蕴涵的“降次”思想、化归思想、分类思想、归纳思想，用生成的原理和方法解有代表性的一元二次方程的过程和蕴涵的“降次”思想、演绎思想等，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响. 基于“过程教育”的“一元二次方程的解法（第1课时）”的教学，怎样操作才能发挥其蕴涵的教育价值？笔者在“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验在象山县全员教研活动中进行了再实践，课后获得了观课教师的广泛好评，现把它整理出来，以飨读者.

教学实录

环节1：经历揭示课题的过程——明确研究的问题

师：我们知道，一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程（组）一样，都是特殊的方程（组），因此，一元二次方程的研究内容和研究方法可以与一元一次方程、二元一次方程（组）类比.

师：一元一次方程研究了哪些内容？

生1：研究了一元一次方程的概念、一元一次方程的解法、一元一次方程的实际应用.

师：好的. 我们已经研究了一元二次方程的概念，大家认为还应该研究什么？

生2：还应该研究一元二次方程的解法和一元二次方程的实际应用.

师：好的. 我们知道，利用运算律、等式的基本性质，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等能求出一元一次方程的解；我们也知道，通过消元能将二元一次方程组转化为一元一次方程. 类比二元一次方程组的解法，能否将一元二次方程转化为一元一次方程？用什么方法能将“二次”降为“一次”？本节就来研究一元二次方程的解法.（揭示课题）

环节2：探索一元二次方程的解法——因式分解法

师：现在请大家思考并回答问题.

师：我们已经会解一元一次方程2x+3=0和2x-3=0，那能解一元二次方程（2x+3）（2x-3）=0吗？请大家合作研讨.

师（待学生研讨后）：谁来说说思维过程？

生3：由（2x+3）（2x-3）=0，可以推出2x+3=0，2x-3≠0 或2x+3≠0，2x-3=0 或2x+3=0，2x-3=0. 因为2x+3=0，2x-3≠0 的解是x=-■，2x+3≠0，2x-3=0 的解是x=■，2x+3=0，2x-3=0 无解，所以（2x+3）（2x-3）=0的解是x=-■或x=■.

师：好的. 一般地，若A·B=0，则可得怎样的结论？

生4：由A·B=0，可以推出A=0，B≠0 或A≠0，B=0 或A=0，B=0.

师：好的. “A=0，B≠0 或A≠0，B=0 或A=0，B=0”的含义是什么？

生5：A和B中至少有一个为0.

师：好的. 以后我们会知道，“A和B中至少有一个为0”与“A=0或B=0”等价，这样我们便得到了一个基本结论——若A·B=0，则A=0或B=0. 利用这个结论可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程.

师：利用这个结论能解方程x2-3x=0吗？

生6：由x2-3x=0，可得x（x-3）=0，即x=0或x-3=0，解得x=0或x=3.

师：好的. 利用这个结论能解方程25x2=16吗？

生7：由25x2=16可得25x2-16=0，可得（5x-4）（5x+4）=0，即5x-4=0或5x+4=0，解得x=■或x=-■.

师：好的. 解上述两个一元二次方程的基本策略是什么？

生8：先用因式分解法把一元二次方程化为“A·B=0”的形式，再运用基本结论把一元二次方程转化为两个一元一次方程.

师：好的. 这个过程体现了化归思想，上述基本结论是实现化未知为已知的桥梁.

师：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

环节3：参与尝试方法应用的活动——合作解有代表性的一元二次方程

师：现在请大家用因式分解法解下列一元二次方程（允许小组合作）.

（1）（x-5）（3x-2）-10=0；（2）（3x-4）2=（4x-3）2；（3）x2=2■x-2.

师（待学生完成任务）：谁来展示方程（1）的解题过程？

生9：化简方程，得3x2-17x=0；将方程左边因式分解，得x（3x-17）=0；所以x=0或3x-17=0，解得x■=0，x■=■.

师（追问）：解这个方程的策略是什么？具体经历了哪几个步骤？

生9：策略——将一元二次方程转化为两个一元一次方程；步骤——先化一元二次方程为一般形式，再将方程左边因式分解，然后运用基本结论解两个一元一次方程.

师：好的，谁来展示方程（2）的解题过程？

生10：移项，得（3x-4）2-（4x-3）2=0；将方程左边因式分解，得[（3x-4）+（4x-3）]·[（3x-4）-（4x-3）]=0，即（7x-7）（-x-1）=0，所以7x-7=0或-x-1=0，解得x■=1，x■=-1.endprint

师（追问）：解这个方程的策略是什么？具体经历了哪几个步骤？

生10：策略——将一元二次方程转化为两个一元一次方程；步骤——先移项，再将方程左边因式分解，然后运用基本结论解两个一元一次方程.

师：好的，谁来展示方程（3）的解题过程？

生11：移项，得x2-2■x+2=0，即x2-2■x+（■）2=0，所以（x-■）2=0，解得x■=x■=■.

师（追问）：解这个方程的策略是什么？具体经历了哪几个步骤？

生11：策略——将一元二次方程转化为两个一元一次方程；步骤——先移项，再将方程左边因式分解，然后运用基本结论解两个一元一次方程.

师：好的，一般地，用因式分解法解一元二次方程需要经历哪几个基本步骤？

生12：（1）移项，使方程的右边为零；（2）将方程左边因式分解；（3）根据“A·B=0，则A=0或B=0”，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

师：好的. 用因式分解法解一元二次方程的基本原理是：“若A·B=0，则A=0或B=0”，这种解一元二次方程的方法以后会经常用到.

接下来，教师要求学生完成课本中的练习题.

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

（2）解一元二次方程的基本策略是什么？

（3）用因式分解法解一元二次方程需要经历哪几个步骤？

其次，教师组织学生合作交流，同时教师边倾听、边评价.

第三，在此基础上教师进行总结性讲解.

■ 教学说明

根据“一元二次方程的解法（第1课时）”的地位与作用及其蕴涵的教育价值，落实其全面、和谐的教学目标，需要引导学生经历解法生成与解法应用的实质性思维过程. 但当前在这节课的教学中普遍存在生成解法的认知过程短暂和生成解法及用解法解有代表性的一元二次方程之后的反思过程缺失的问题，这有悖于“过程教育”，不能满足学生全面、和谐发展的需要. 本节课以有代表性的一元二次方程为载体，采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放方法，引导学生经历了完整的认知过程——既有尝试解特定的一元二次方程、研讨基本结论和用基本结论解简单一元二次方程的认知过程，以感知用因式分解法解一元二次方程的原理，也有感性认识基础上反思的认知过程，以内化用因式分解法解一元二次方程的原理和感悟蕴涵的化归思想；既有用生成的解法解有代表性的一元二次方法的认知过程，以巩固解法和发展智慧技能，也有解具体一元二次方程之后追问与反思的认知过程，以积淀用因式分解法解一元二次方程的经验. 这体现了“过程教育”，对落实全面、和谐的教学目标有积极的影响. 教学实践表明，在方法教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示方法所蕴涵的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师充分贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放方法，使学生经历“过程”中的思维“站点”，从而促进学生全面、和谐地发展.endprint