用数学模型巧解题

杨艳丽

河北省辛集市马庄乡中学

用数学模型巧解题

杨艳丽

河北省辛集市马庄乡中学

数学模型可灵活综合的运用所学知识（包括数学知识）来处理和解决实际问题，这是一种常见的解决实际问题的思考方法。其实质是从实际问题中提出关键性的基本量，将其转化为数学基本问题来表达，并通过观察、分析、探究和抽象概括，使之符合某一数学模型，进而计算、论证等，最后得出结论。利用构建数学模型的方法来解决实际问题，可以培养学生利用数学的意识，使其创新精神在数学活动中得到体现和落实，对于以后应用于实践奠定基础。常见的数学模型有：方程模型、不等式（组）模型、平面几何模型、解直角三角形模型、函数模型、构建统计模型解决实际问题、构建统计模型解决实际问题。

数学模型；等量关系；探究；分析

“处处留心皆学问”，生活中的实际问题都可以建立一定的数学模型，借助数学模型予以解决。数学模型可灵活综合的运用所学知识（包括数学知识）来处理和解决实际问题，这是一种常见的解决实际问题的思考方法。其实质是从实际问题中提出关键性的基本量，将其转化为数学基本问题来表达，并通过观察、分析、探究和抽象概括，使之符合某一数学模型，进而计算、论证等，最后得出结论。利用构建数学模型的方法来解决实际问题，可以培养学生利用数学的意识，使其创新精神在数学活动中得到体现和落实，对于以后应用于实践奠定基础。常见的数学模型有：

1.方程模型。

方程模型的实质是建立等量关系。先现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利率、税率、产品销售、人员调配、行程、浓度配比、布料分配、工程施工、电路、杠杆平衡等问题，均可以用方程或方程组来解决，解决此类问题的关键是弄清题意，将题目中的已知量与未知量找出，提出相等关系，列出方程组，求出未知量，从而解决实际问题。

2.不等式（组）模型。

不等式（组）模型要求问题中出现不等关系，如在市场经营、生产决策、调配车辆、出租车记费等问题中，有时需要进行盈亏平衡分析，产量、产值预算等，这些问题中常隐含着数量的不等量关系，建立不等式模型是解决问题的有效途径，一般用于研究考虑设计方案、最佳优化等问题。

例：某种出租车的收费标准是：起步7元（即行驶距离不超过3千米都需要付7元车费），超过3千米，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是X千米，那么X的最大值是什么？

分析：该问题在乘车人付费时就可以通过不等式问题得出。

解：由题意得7+2.4（X-3）≤19

X≤8

所以X的最大值是8。

3.平面几何模型。

在零件加工、残轮修复、地下管道破裂修理人员更换新管道、线圈切割磁力线、拱桥计算、边角余料加工等应用问题中常建立几何模型，转化为几何问题求解。

如：工人师傅检验工件的凹面，成半圆形时为合格。在检验是否合格时，就可以用曲尺测量。利用90度的圆周角所对的弦为直径。建房前挖地基，看是否方正，就是利用勾股定理中的勾三、股四、弦五的知识。在操场上画跑道的弯道时，用直道在拐弯处与弯道所在的圆相切。在三角形边角余料中裁剪合格的矩形或圆形零件，通过计算就可知该三角形余料是否可以再利用。在机械制图、工程设计等领域的一些问题可以利用正多边形的计算来解决。在制图上，板金工制作各种圆柱和圆锥形工件时，要根据工件的尺寸，利用圆柱和圆锥的侧面展开图进行计算，在铁板上画出下料图，如白铁匠做水桶和烟囱帽。

4.解直角三角形模型。

在测高量距、航海是否触礁、车辆运行时周围是否受到干扰、堤坝修筑问题、修路是否破坏建筑物、机翼大小、渠坝坡比、燕尾槽、框架设计计算，还可以应用在物理、地理计算上。

例：一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60度，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30度，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

5.函数模型。

现实生活中的最优化问题，如优化组合、造价成本最低、产品利润最大、用料最省收入最高、分配人员、风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈货船过拱桥、货车过隧道、勘探设计、电子、机械、军事、体育竞技、航空飞行、信息传递、水利建设、天文研究等都可以通过实际，建立变量之间的函数关系转化为函数问题予以解决。

6.构建平面直角坐标系模型。

投物、射击、喷灌、跳水、行路、统计等运动的轨迹或变化情况，具有某种规律，或者变量的变化规律具有某种函数关系等实践问题，一般可以转化到平面直角坐标系内完成。

7.构建统计模型解决实际问题。

一般在商业活动、选拔活动、估算问题、统计选票、研究合格率、潜能稳定程度、数学期望值、体育训练测试、物理与化学实验统计中一般概括出统计知识进行研究。

一切实际问题都可以应用相应的数学模型来研究解决，使问题数学化、科学化，更有利于找出其内在的规律性，这就要求我们把实际问题进行细致的分析研究，找出适合的数学模型，转化为数学问题进行研究。