关于Sakaguchi函数类的子类

徐 能，朱慧秋

（1.常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500；2.常熟市外国语初级中学，江苏 常熟 215500）

1 引言

全文设

设 f(z),g(z)在单位圆盘U={z:||z＜1}内解析，若存在U内解析函数w(z)使|w(z)|≤|z|且f(z)=g(w(z))(z∈U)，称 f(z)在U内从属于 g(z)，记作 f(z)≺g(z)(z∈U).设A表示U内形为

的解析函数类；S表示A中单叶函数组成的子类.Sakaguchi[1]引进了类

并证得Ss⊂K(⊂S)，这里K是U内近于凸函数类.Sakaguchi函数类Ss也称关于对称点的星形函数类.类Ss与各种相关的函数类已被许多学者所研究，例如可参见文献[1-11].

在我们的研究中需要以下引理.

引理设（1.2）给出的 f(z)∈A满足

则

这里

证明由（1.1）和（1.5），Aλδn-nB≥-B(n-λδn)≥0(n≥2). 设，则有

因此，应用最大模原理得从属关系（1.4）.

我们现在考虑A的以下两个子类：

定义1 （1.2）给出的函数 f(z)∈A称为在类F(λ,A,B)中当且仅当它满足系数不等式（1.3）.

从引理看到，若 f(z)∈ F(λ,A,B)，则从属关系（1.4）成立.

定义2（1.2）给出的函数 f(z)∈A称为在类G(λ,A,B)当且仅当它满足系数不等式

显然对 f(z)∈ A ，f(z)∈ G(λ,A,B)⇔ zf′(z)∈ F(λ,A,B).

若 我 们 写 αn=αn(λ,A,B)==nαn>αn(n≥2),则 容 易 验 证

因此有以下包含关系：若 0≤ λ≤λ0≤1,-1≤ B0≤B＜A≤ A0≤ 1,B≤ 0,则 G(λ,A,B)⊂F(λ,A,B)⊆F(λ0,A0,B0)⊆ F(1,1,-1)⊂ SS,G(λ,A,B)⊆ G(λ0,A0,B0)⊆ G(1,1,-1).

这表明 F(λ,A,B)和 G(λ,A,B)都是 Ss的子类. 对于函数f1(z)与 f2(z)的 Ha⁃damard乘积或卷积定义为

本文的目的是讨论函数类F(λ,A,B)和G(λ,A,B)的畸变不等式，包含关系与卷积性质.

2 畸变不等式

定理1设则对 z∈ U 有

（i）

（ii）当 A=1，

（iii）当A＜1，

证明（i）对 n=2m(m∈N)有 δn=0，n(1-B)-λδn(1-A)≥2(1-B).

对 n=2m+1(m ∈ N)有 δn=1，n(1-B)- λδn(1-A)≥ 3(1-B)- λ(1-A)≥ 2(1-B).因此

（iii）当A＜1，对 n=2m+1(m∈ N)有

对 n=2m(m∈N)有

同理可得（2.3）中等二个不等式.

定理2设 f(z)∈G(λ,A,B)，则对 z∈U 有

（i）

（2.8）中的界是准确的，有极值函数

（ii）

（2.10）中的界是准确的，有极值函数（2.9）.证明从略.

3 在G(λ,A,B)与F(λ,C,D)之间的包含关系

下一定理推广且改进前面提到的包含关系G(λ,A,B)⊂F(λ,A,B).

定理3对于 -1≤D≤0,G(λ,A,B)⊂F(λ,C(D),D).

证明我们有设 f(z)∈ G(λ,A,B)，易知为证明 f(z)∈ F(λ,C(D),D)，只要找最小的C(D＜C≤1)使

对一切n≥2成立，或即

当 n=2m+1(m∈N)，（3.2）写成

易知 ϕ(n,λ)(n≥2,0≤ λ≤1)关于n是递减的，故

当 n=2m(m∈N)，（3.2）化为

且有

显然 ϕ(3,λ)＜ϕ(2,0). 因此，若取 C=ϕ(2,0)=C(D)，则从（3.1）到（3.6）断定 f(z)∈F(λ,C(D),D).

进 而 ，对 D＜C0＜C(D)，有这表明（2.9）定义的函数

f(z)∈ G(λ,A,B)不在类 F(λ,C0,D)中. 定理证毕.在定理3中取D=B立得下述结果：

推论1且数不能再小.

4 卷积性质

本节中设 -1≤ Bj≤ 0,Bj＜Aj≤1(j=1,2).

定理4 设 fj(z)∈ F(λ,Aj,Bj)(j=1,2)，则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A(B),B),这里且数 A（B）不能再小.

证 明首 先设则

而 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A,B)当且仅当

为证明定理4，从（4.1）和（4.2）知只要找最小的A使对一切n≥2有

或即

当 n=2m+1(m∈N)，（4.4）可写成

显然函数 ϕ1(n,λ)(n≥2,0≤λ≤1)是n的减函数，故

当 n=2m(m∈N)，（4.4）化为

且有

现在

因此，从（4.3）到（4.10）可见 ϕ1(3,λ)≤ ϕ1(2,0)=A(B),(f1*f2)(z)∈ F(λ,A(B),B).

因此 (f1*f2)(z)∉ F(λ,A0,B). 证毕.

推论2 设 f1(z)∈ F(λ,A1,B1),f2(z)∈ G(λ,A2,B2),则 (f1*f2)(z)∈ G(λ,A(B),B),这里 A（B）与定理 4 中相同，且A（B）不能再小.

定理5 设 f1(z)∈ F(λ,A1,B1),f2(z)∈ G(λ,A2,B2),则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A~1(B),B),

定理6 设 fj(z)∈ G(λ,Aj,Bj)(j=1,2) ，则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,2(B),B). 这 里且2(B)不能再小.证明从略.

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