非线性分数阶微分方程m点边值问题解的唯一性

王和香，胡卫敏

（伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁835000）

分数阶微分方程出现在科学和工程的各个领域，由于分数阶微分方程在这些领域的应用，分数阶微分方程的研究已获得相当大的关注［1－9］.最近，很多人开始研究非线性分数阶微分方程的解的存在性.文献［10］研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题

受文献［10］的启发，本文将研究非线性分数阶微分方程m点边值问题

1 预备知识与引理

定义1［2］函数y：（0，＋∞）→R的α＞0阶Riemann－Liouville积分是指

其中右边是在（0，＋∞）上逐点定义的.

定义2［2］函数y：（0，＋∞）→R的α＞0阶Riemann－Liouville微分是指

其中n＝［α］＋1，右边是在（0，＋∞）上逐点定义的.

引理1［10］设α＞0，分数阶微分方程Du（t）＝0有解

引理2［10］设α＞0，则有

其中Ci∈R，i＝0，1，...，n，n＝ ［α］＋1.

引理3［9］假设y∈C ［0，1］，1＜α≤2，那么分数阶微分方程

有唯一解.

引理4［10］假设，则引理3中的格林函数G（t，s）具有如下性质：

令E ＝ C′［0，1］，其 范 数定义锥P⊂E，P＝

引理5［10］假设f （t，u，u′）∈C （［0，1］× ［0，＋ ∞）× ［0 ，＋∞ ）），函数u∈P是边值问题（2）的解，

引理6 假设f （t，u，u′）∈C （［0，1］× ［0，＋ ∞）× ［0，＋∞ ）），定义算子T：P→E为

则T：P→P是全连续的.

证 首先证明T：P→P，对u∈P，Tu （t），（Tu ）′（t）是连续的，由引理4有m≤a≤xTu （t） ≤M

0t1P.

引理7［10］Banach压缩映射原理推论：设 （X ，ρ） 是完备的距离空间，算子T：X→X，如果存在常数λ （0≤λ≤1）及正整数n0，使对任意的x，y∈X，都有ρ（Tn0x，Tn0y） ≤λρ（ x，y），其中ρ（x，y）＝ ‖yx‖，则T存在唯一的不动点x＊∈X.

2 主要结果

满足

其中a （t），b （t）∈L1［0，1］，且均大于0，u，u′，v，v′∈ ［0，＋ ∞），则问题（1.2）有唯一解.

证 只需证明在定理1的条件下，当n→∞时，Tn是压缩映射.

首先由引理7可得T：P→P.

下证算子T是压缩的.对∀u，v∈P，

3 例子

考查下面的边值问题

［1］Bai ZhanBin，Lu Hai Sheng.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear Fractional Differential Equations［J］.Math Anal Appl.，2005，311（2）：495－505.

［2］Su XinWei.Existence of positive solutions for boundary value problem of nonlinear Fractional Differential Equations［J］.Appl Math J Chinese Univ Ser，1993B，22（3）：291－298.

［3］Su XinWei.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equation［J］.Appled Mathematics letters，2009，22（1）：64－69.

［4］Xu XiaoJie，Jiang Da Qing，Yuan Chen Jun.Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation［J］.Nonlinear Analysis，2009，71（10）：4676－4688.

［5］Zhang ShuQing.Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equation［J］.Electr.J.Differential Equations，2006，36：1－12.

［6］Kilbas A，Anatoly Srivasfava H，Hari Trujillo.Theory and applications of fractional differential equation［M］.Elsevier Science B.V.Amsterdam：North－Holland Mathematics studies，2006.

［7］Bai Zhan Bin.Positive solutions of some Nonlinear Fourth－order Boundary Value Problem ［J］.Applied Mathematics Computation，2010，215：4191－4197.

［8］郭大钧，孙经先.抽象空间微分方程［M］.济南：山东科学技术出版社，1989.

［9］吕志伟.一类具有p－Laplacian算子的非线性分数阶微分方程m点边值问题解的存在性［J］.数学实践与认识，2013，43（13）：237－244.

［10］王翠青.非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性［J］.河南科技大学学报，2013，43（1）：85－88.