课标理念重在“践行” 函数概念旨在“体会”——以初中阶段“三类函数”的概念解读为例

安徽省合肥市初中数学名师工作室 万志华 刘 钰 卫德彬 (邮编：231200)

课标理念重在“践行” 函数概念旨在“体会”
——以初中阶段“三类函数”的概念解读为例

安徽省合肥市初中数学名师工作室 万志华 刘 钰 卫德彬 (邮编：231200)

函数就是刻画现实世界中变化规律的数学模型，它在九年制义务教育第三学段“数与代数”部分中占有重要的地位.标志着数学学习由常量数学过渡到变量数学，在数学思维上是一个飞跃，对培养学生的逻辑思维能力和辩证唯物主义观点具有重要的意义和作用：一方面很多常量数学不能解决的问题，运用变量数学就能够迎刃而解，另一方面变量数学也是今后学习物理、化学等其它学科的有力工具和载体，同时函数与方程、不等式又有着密切的联系；作为一条主线，它是初中阶段“数与代数”内容的核心.

函数来源于生活又服务于生活，紧密联系着实际，从实际中抽象出函数的有关知识，又运用此知识来解决实际问题，这是贯穿于函数的主线，即通过设置实际问题情境抽象出一次函数、二次函数以及反比例函数(以下简称“三类函数”)的概念及其关系式后，经历列表、描点、作图等活动，逐步来认识这些函数的图象和性质、最后是运用函数的这些知识来解决相应的实际问题，这其中，对“三类函数”的概念的理解既是学习函数的出发点，又是学习函数的落脚点，“三类函数”概念的形成，是从感性认识到理性认识的升华，只有当概念建立后，即已摆脱原型成为教学对象(有经验支撑的数学知识)，此时才能转向其数学意义的理解，从而再进行更深层次的研究，恰恰这一点被我们很多教师以及部分专家们所忽视了.他们总是把教学的重点放在后面两点上，特别是第三点即“运用函数知识来解决相应的实际问题”，殊不知第一点即对“三类函数”的概念理解、掌握，才是学习“三类函数”的基石及抓手.所以教师用书总是在学习函数的相关章节中，均把“三类函数”的概念的理解与掌握列为教学重点，同时《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《新标准》)中对“三类函数”的概念的理解与掌握是这样要求的：“结合具体情境体会一次函数的意义”；“结合具体情境体会反比例函数的意义”；“通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义”.这个“体会”含义极为丰富，我们至少可以从两个方面去理解和把握，一方面是通过学生自己(或教师的引导)完成预备知识，即从教科书中提供的实际问题情境入手，结合已有的知识经验，通过他们的观察、思考、分析和归纳，试着让学生去把握概念的本质特征，从而实现知识的迁移，这充分体现出“先学后教”的教育思想，当然这也可以看作是《新标准》中提倡的“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”这个基本理念的贯彻与实施；另一方面是对概念的理解必须从“两个维度”去把握，即对概念理解的深度和理解的宽度，这是在教师对概念的拓展解读中让学生把握的，所以是以教师讲解为主.其中对概念的理解深度是指对概念本质的理解，这种理解必须是超越形式上的、不是简单的、肤浅的认识；理解的宽度则是指对与概念相关的知识和性质的理解以及和之前学过的有联系的知识的理解，从而将概念放在该知识体系的发展脉络和整体架构中去理解、去把握，这点又可以看作是《新标准》中提倡的“教师教学……要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系……使学生理解和掌握其基本的数学知识与技能.”这个基本理念的体现.在“三类函数”的概念实际教学中，我们往往是对第一点还算得上兼顾，但对于第二点即“对概念的理解必须从两个维度去把握”做得却是很不够，下面以初中阶段“三类函数”的概念教学设计为例，来谈谈在实际教学中我们应如何对“三类函数”概念从“两个维度”即对概念理解的“深度”和“宽度”上去诠释.

对于“三类函数”的概念引入以及对概念的描述部分在这里就不再赘述了.

二次函数 可以从以下五个方面去讲解：①二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的结构形式是：等号左边是函数y，等号右边是关于自变量x的二次整式，因此二次项的系数必须a≠0；②判断一个函数是否是二次函数，要把它化简为一般形式，即y=ax2+bx+c(a≠0)，不能被它的表面现象所迷惑；③在二次函数的一般形式中二次项系数不能为零，而一次项系数、常数项都可以为零，当二次项系数为零时，则函数就变为一次函数或常数函数了；④二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)中，x、y都是变量，自变量x的取值范围是全体实数(在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义)；⑤当函数值y=0时，此时的二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)就变成ax2+bx+c=0的形式，在a、b、c是常数，a≠0的条件下，也就是一元二次方程的一般形式，这时我们就可以这样说，当二次函数的图象和x轴有交点时，函数值y=0，此时的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠o)的根，这也是本章要研究的内容，即二次函数和一元二次方程的关系.

以上是对初中阶段“三类函数”概念的意义的第二方面的“体会”即从两个“维度”去理解其本质，其中对每类函数的概念的诠释的第一、二两点是对相应的函数概念的“深度”理解,这是讲解的重点，后面几点则是对相应的函数概念的“宽度”理解.这几点虽然不是讲解的重点，但讲解却非常有必要，因为一方面可以让学生知道一次函数和之前所学的二元一次方程的关系，二次函数和之前所学的一元二次方程的关系，反比例函数和之前所学的反比例关系以及和正比例函数的区别对照，另一方面还可以让学生看到一次函数、二次函数和反比例函数的概念对后继知识的统领作用.

总之，概念是数学的命根子，它是判断和推理的依据，我们告诉学生“记死才能用活，”如果概念本身模棱两可，必然导致判断不准，推理混乱，所以李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也?”.我们一线的教师不能因为某种需要(如为了考试而大讲、特讲典型例题)而忽视或淡化了数学概念的教学，不能用习题教学来替代对概念的概括与理解过程，不能淡化概念的深度讲解，要注重数学概念相关知识的生成过程以及学生对新概念知识的内化过程.那些认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”是片面的，因为对于学生来说，由于其理解能力的不足，在对于新的数学概念知识是很难准确认知的，它需要教师的细致讲解，唯有这样，才能让学生关注其本质，理解其真正含义.

1 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(2011年版) [M].北京：北京师范大学出版社，2011

2 罗新兵.“二次根式”的概念分析与教学路径[J].中学数学教学参考(中旬),2014(1-2)

3 王敏，孙振国.浅谈新课程改革的几个误区[J].中小学数学(中旬),2014(1-2)

2015-03-08)