一道考查“中点”的好题

●李玉荣 (金陵中学河西分校 江苏南京 210019)



一道考查“中点”的好题

●李玉荣 (金陵中学河西分校 江苏南京 210019)

线段的中点是几何图形中一个特殊的点，除了中点的概念外，依据《数学课程标准》和《义务教育标准教科书》，解题时常见的联想途径有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第3边，并且等于第3边的一半；倍长中线构造全等三角形(或平行四边形)等．每年中考涉及中点的试题比比皆是，而2014年辽宁省本溪市数学中考第25题却让人眼前一亮，此题独具匠心、特色鲜明，中考复习时供学生练习事半功倍．

题目 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，联结BE,CD，F为BE的中点，联结AF．

1)如图2，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF.

图1 图2

2)当∠BAE≠90°时，第1)小题的结论是否成立？请结合图1说明理由．

分析 此题由2个小题构成:第1)小题因为AF是Rt△ABE斜边上的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可得证;第2)小题∠BAE≠90°，如何利用中点是关键，显然无法直接使用，需添加辅助线，有以下2种思路(共5种证法)：

思路1 构造三角形的中位线，延长EA至点H，使得AH=AE，根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，然后证明△ABH≌△ACD，从而BH=CD，即可解决问题.

思路2 倍长中线AF，构造平行四边形得到AG=2AF，然后通过△ABG≌△CAD证得AG=CD，也能解决问题．

1)证明 如图2，当∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°时，∠DAC=90°.在△ABE与△ACD中,

从而

△ABE≌△ACD(SAS)，

于是

CD=BE.

因为在Rt△ABE中，F为BE的中点，所以BE=2AF，进而CD=2AF．

2)证法1 当∠BAE≠90°时，第1)小题的结论仍成立.如图3，延长EA至点H，使得AH=AE，从而AH=AE=AD，联结BH.因为∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°.

又因为∠EAB+∠BAH=180°，所以

∠BAH=∠DAC.

在△ABH与△ACD中,

从而

△ABH≌△ACD(SAS)，

于是

BH=CD.

因为EF=FB，AH=AE，所以

BH=2AF，

进而

CD=2AF．

以上是命题者提供的参考答案，笔者研究此题，另有收获：

图3 图4

2)证法2 当∠BAE≠90°时，第1)小题的结论仍成立.如图4，延长BA至点M，使得AM=AB，则AM=AB=AC，联结EM.因为∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°.

又因为∠EAB+∠EAM=180°，所以

∠EAM=∠DAC.

在△AEM与△ADC中,

从而

△AEM≌△DAC(SAS)，

于是

EM=CD.

因为EF=FB，AM=AB，所以

EM=2AF，

进而

CD=2AF．

2)证法3 如图5，将△ABE绕点A顺时针旋转，使AE与AD重合.因为∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠DAB′+∠DAC=∠EAB+∠DAC=180°，

从而点B′,A,C在一条直线上.又因为AB=AC，BF=FE，所以CD=2AF．

图5 图6

2)证法4 如图6,将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合.因为∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠E′AC+∠DAC=∠EAB+∠DAC=180°，

从而点E′,A,D在一条直线上.又因为AE=AD，EF=FB，所以CD=2AF．

图7

2)证法5 如图7，延长AF至点G，使得FG=AF，则AG=2AF.因为EF=FB，所以四边形ABGE是平行四边形，从而

BG=AE=AD，GB∥AE，

于是 ∠EAB+∠GBA=180°.

因为∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°，

进而

∠GBA=∠DAC.

在△ABG与△CAD中,

从而

△ABG≌△CAD(SAS)，

于是

AG=CD，

故

CD=2AF．

评注 要证CD=2AF，可倍长AF转化为证明2条线段相等．在教学实践中，大多数学生想到的是这种方法，通过证明△AEF≌△GBF，得出BG=AE=AD，但接下来如何证明，部分学生一筹莫展，需教师提示利用△AEF≌△GBF，得出GB∥AE(还可得内错角相等)，从而∠EAB+∠GBA=180°，再与已知∠EAB+∠DAC=180°沟通，才能完成证明．尽管过程稍显繁琐，但作为常用的一种思路、方法，教师还是应该予以肯定．

拓展 从证法5可得∠FAB=∠ACD，“求证：∠FAB=∠ACD”是一道更有挑战性的习题．

从题目的命制看，试题旨在考查全等三角形的判定与性质以及与“中点”相关的2个重要定理.第1)小题的特殊角“∠BAE=90°”，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”不难证明CD=2AF;第2)小题的非特殊角“∠BAE≠90°”，先让学生猜想“第1)小题的结论是否成立？”，体现了从特殊到一般的数学思想，但条件改变了，对结论的证明无法机械地套用第1)小题的方法，需创新思维，联系与中点相关的辅助线是解题的关键.

从题目的解法看，方法的多样性是一道题目被认为是“好题”的重要条件之一.证法1～4从不同的角度构造出三角形的中位线解决了问题，尤其是证法3和证法4，利用旋转的不变性，将AF与CD这2条分散的线段巧妙地集中在一个三角形中，利用“三角形的中位线等于第3边的一半”直接得解，解题过程极为简洁，而证法5所采用的“倍长中线”则是众多教材上一道典型例(习)题揭示的基本图形，具有极高的利用价值，常有意想不到的收获．此题与学生日常学习“获得基本的数学活动经验”密切相关，给考生留下了广阔的思维空间，彰显了《课程标准》中“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念，不愧是一道耐人寻味的考查“中点”的好题，值得中考复习中选为例题或习题，并将探究解法的教学过程展开，尽可能地让学生主动参与解法探究，提出各自解决问题的策略，进行比较和讨论，丰富数学活动的经验，提高数学思维的水平．

著名数学家波利亚说过：一个专心、真正备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生完善问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．我们期待2015年中考有更多这样的好题问世，为数学试题的“大花园”增色添彩．

[1] 郝新武．一道习题的探究与反思[J]．中国数学教育：初中版，2012(5)：25-27．