问题情景:学生主动建构的载体——对一道课本例题探究引发的思考

●陈 霞 (横河中学 浙江慈溪 315318) ●黄红边 (浦江县第三中学 浙江浦江 322200)



问题情景:学生主动建构的载体
——对一道课本例题探究引发的思考

●陈 霞 (横河中学 浙江慈溪 315318) ●黄红边 (浦江县第三中学 浙江浦江 322200)

美国当代著名建构主义学家格拉塞斯菲尔德认为：知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的．随着新课改的深入，这个观点让越来越多的教师深刻体会到：创设生动具体的情景是“引导学生运用已有的学习经验思考、探究和互动(包括教师和学习伙伴)，促使学生主动建构”的载体，更能使课堂教学效果水到渠成.本文从一道课本例题的教学实践思考出发，借以抛砖引玉．

1 问题的产生

在人教A版必修2“圆的一般方程”这一节中有这样一个例题：

例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆C：(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

在学习此内容时，限于学生所学知识，还不能具体探究．但这是一个值得深入探究的问题，为此，在学生学完了圆锥曲线后，笔者把这个例题重新抛出来，让学生回顾和思考．

探究1 改变端点B的位置，中点M的轨迹会变吗？

让学生自主解决，教师有针对性地选几个学生(端点B在圆外、圆上、圆内)发表意见后得出结论．

探究2 过点M作AB的垂线，交直线CA于点N，当点A在圆C上运动时，求点N的轨迹方程．

探究3 改变端点B的位置，点N的轨迹会变吗？

此问作为课后学生自由发挥的作业．

学生上课都听得很认真，笔者讲练结合，强调注意点、细节等学生易疏忽之处，以为经过这样的探究，应该是点面俱到、滴水不漏了．事实上，从作业情况来看，这个问题解答的正确率并不高.学生对课后作业各抒己见，都认为自己是正确的．有学生向教师请教:

生1：这个题目我们2个人得出的结论不同:一个是双曲线，一个是椭圆，但我认为自己做的没问题.

师：你们的结果为什么不同呢？是什么原因产生的？

生2：我的点B选在了圆内,他的点B选在了圆外,还有同学的点B选在了点C处．

师：这就说明，端点B的位置变了，点N的轨迹要变．

生3：那还有没有别的情况，怎样才能不丢情况呢？

生4：若点B的坐标为(a,b),则怎么知道何时需要讨论、何时不需要讨论呢？

2 问题的思考

学生的探讨让问题进一步深入了.笔者对课堂例题探究的教学进行了反思,理清知识的本原，把握教材中最主要、最本质的东西．

从本堂课作业题结论的不确定性可以看出，传统的讲练结合的教学方法，无法让学生明确点的运动变化情况，同时给理解结论产生的原因带来困难.即使是在教师引导下的探究和思考，学生也只能记住教师所讲的结论，知其然而不知其所以然．要突破这个难点，可以考虑使用计算机应用软件——几何画板，它能够准确、动态地表达几何现象，直观地认识动点变化，并在问题解决过程中获得真正的数学体验，把抽象的数学结论化为具体．通过好的情景设置，启发学生观察、概括并应用，促使学生实现对知识的重新建构，加深对“动点”的深层理解，积累数学体验，拓宽数学能力．

从实际课堂效果看，笔者忽略了：教师创设“探究性情景”，更重要的是“从学生发展的内在需要出发，从数学内容的发生发展过程的角度出发”.因此，本节课的引入情景首先应该有鲜明的目标指向，即求轨迹一般性方法的导出；其次，能融数学教与学为一体，具有数学教学活动的内驱力，即渗透“将未知转化为已知”、“分类讨论”的数学思想，体现“数学思想是数学教学的灵魂”.从这出发，设计探索性的情景，在教师引导下，分阶段、有步骤地进行渗透，最终促使学生“自主、内化、发展”，将数学知识与数学思想方法有机地结合，最终使数学课堂具有自我生长性的立体环境.那么，情景创设就不仅仅起到“敲门砖”的作用，还会在进一步学习中发挥一定的导向作用，成为一个完美的载体.

3 问题的解决

基于以上的思考以及学生的实际，笔者借助几何画板重新探究这个例题．

探究1 改变端点B的位置，端点B分别在圆外、圆上、圆内，中点M的轨迹会变吗？

用几何画板演示后，学生一目了然(论证的工作已在之前的课堂上解决了)．

探究2 过点M作AB的垂线，交直线CA于点N，当点A在圆C上运动时，求点N的轨迹方程．

探究3 改变端点B的位置，点N的轨迹会变吗？

笔者慢慢地用几何画板演示(学生目不转睛地盯着屏幕)，点N的轨迹变化一一呈现，学生也极度兴奋，脱口而出：双曲线、点、椭圆、圆．

师：能总结出点N的轨迹吗？

生5：当点B在圆外时轨迹是双曲线；当点B在圆上时轨迹是点C；当点B在圆内不与点C重合时轨迹是椭圆；当点B与点C重合时轨迹是圆．

师：但必须证明！其实有些情况同学们在作业中已经证明了，只要把各种情况分类整理即可．

师：通过此次探究，我们学会了思考、学会了比较，也敢于提出问题了，这很值得肯定，但提出问题、解决问题的勇气还有待加强．可不可以作进一步地探究呢？

探究4 在直线MN上取一点P,求点P的轨迹．

探究5 在直线AB上取一点Q，过点Q作AB的垂线QR，与直线CA交于点R，求点R的轨迹．

学生们的反响也较强烈．

生6：借用几何画板的直观演示，我们知道了讨论的必要性，也懂得了如何讨论．

生7：一个例题可以有这么多的探究，我感到书本中的例题很有用．我们要重视书本例题．

生8：这种自主探究、自己去寻找结论的上课方式，我很喜欢．

4 问题的深入

从学生的前后反响中，笔者也深深地体会到:教学必须分析教材、学生等教学要素，特别是学生课堂上的一知半解和课后所反映出的问题，要多方位寻找原因，并及时解决；要成功上好一节课，更要让学生在教师创设的问题情景中，学会观察、探索、分析和概括，而不是教师向学生灌输知识，将知识单向地传授给学生，问题情景创设的最终目的是促使学生主动建构．本课的设计是穿线型问题，把一节课涉及到的知识点(不管是本节的知识点，还是以前所学的知识点)，以问题的形式串成一条问题链，然后把问题链构建成符合学生认知规律和思维活动规律的一组问题情景，用一个个问题帮助学生回顾旧知识的同时，逐步导出“新”的学习内容.

因此，可以通过对课例的分析来构建问题情景设计的方法和策略，具体做法有：

4.1 认知冲突型问题情景

创设认知冲突型问题情景，利用知识的新旧之间、整体与局部之间、不同特点之间的差异打破学生已有认知结构的平衡状态,促使学生进行独立自主的探究，完成新认知结构的构建．而课堂将成为“让学生学会数学思维、学会探究、学会应用、学会创新”的场所，学生才会在自我建构中真正学会学习，并随学生的探究意识不断强化,思维不断升华，真正达到学生自主学习的目的．

如复数概念的引入教学可以创设如下问题情景:

1)求一元二次方程x2-2x-4=0的实数根;

2)求一元二次方程x2-2x+1=0的实数根;

3)求一元二次方程x2-2x+4=0的实数根．

这3个问题都是求一元二次方程的根，学生自然会想到用求根公式求解,而且也会得出问题3)中的方程无实数根．此时教师可引导学生：能不能让问题3)中的方程有根，而且有类似于问题1)的求根公式呢？于是让学生产生认知上的冲突,探求新知识的欲望便油然而生．

4.2 数学史问题情景

就知识本身而言，它是思维的产物、智慧的结晶，知识在内容上包含着深刻的思维和丰富的智慧，而在形式上却是简单、呆板、现成的结论和论证.因此，在课堂教学中,教师可以为学生提供一些数学史上的人文故事或其他有趣的知识,用这样的方式创设有趣的问题情景,能使学生对问题进行积极地探索和深层次地思考,借以反映知识的形成过程以及知识点的本质，也给课堂注入更多的人文情怀．如在讲授“等差数列求和公式”时,可以先讲一个数学小故事:德国的数学家高斯读小学时,教师出了一道算术题:1+2+3+…+100=？其他学生都在“小鸡啄米”，而高斯思考了一会儿就写出了答案:5 050．高斯是用什么方法做得这么快的呢?学生听了一定感到惊奇,会产生一种强烈的探究反应．教师趁此点明本节课题:这是今天要学的等差数列的求和方法——倒序相加法．在轻松、愉快的氛围中，学生的学习兴趣已被调动起来,很自然就引起对该知识的重视,从而调动学生学习的积极性,也能使该节课达到较好的课堂教学效果．

4.3 现实生活型问题情景

4．4 多媒体展示型问题情景

多媒体集图像、图形、文字、动画等各种信息传输手段为一体，具有很强的真实感和表现力，为课堂激发学生主动学习的热情提供了有利的条件.具体表现在以下2个方面：

1)多媒体展示改变了师生间单调的语言交流、黑板交流，使教学互动表现为文字、图形和声音的有机结合，促进了师生间的感情交流，打破了传统教学中以教师为中心的单向交流，对课堂教学的创新氛围起着推动作用．

2)多媒体展示能为理性知识注入感性元素，能把抽象思维具体化，能让静止变为运动，有利于课堂教学的重点突出、难点分解．

比如立体几何、解析几何的教学、函数y=Asin(ωx+φ)的图像教学等都可以用多媒体展示，这样避免了教师“强塞硬灌”，使学生能在欢快的氛围中学习，得到较好的课堂效果．