类比联想寻思路 三角换元巧解题

●许书军 刘少平 邹 鹏 (仙桃市第八中学 湖北仙桃 433000)



类比联想寻思路 三角换元巧解题

●许书军 刘少平 邹 鹏 (仙桃市第八中学 湖北仙桃 433000)

数学竞赛中许多代数问题，结构复杂，变元较多，学生往往陷入盘根错节的变量关系之中，难以理清头绪，找不到解题切入点而无从下手.这时如果借助题目显现的某些特征和关系，从分析问题的整体结构出发，类比联想相关三角公式和恒等式模型，适时采用三角换元，不仅能简化题设信息，使隐性条件显性化，而且可以沟通变元之间的关系，使繁杂的代数问题转化为简单的三角变换问题而快捷获解.

1 类比联想sin2θ+cos2θ=1

( )

(2011年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题)

又

从而

例2 已知正实数a,b满足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的取值范围.

(2012年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题)

且

2 类比联想sin2α+(cosαsinβ)2+(cosαcosβ)2=1

(2010年湖北省高中数学联赛试题)

例4 已知实数x,y,z满足x2+2y2+5z2+2xy+4yz-2x+2y+2z+11=0，求x+2y+3z的取值范围.

(2011年世界数学锦标赛青年组试题)

分析 初看本题，似乎无从下手，但若将已知条件配方,则

(x+y-1)2+(y+2z+1)2+(z-3)2=3.

联想到 sin2α+(cosαsinβ)2+(cosαcosβ)2=1,

就可以用三角函数模型来表达求解了.

解 将已知条件配方可得

(x+y-1)2+(y+2z+2)2+(z-3)2=3,

令

于是D=x+2y+3z=A+B+C+2=

即

3sin(α-γ)+2≤D≤3sin(α+γ)+2,

sin(α-γ)≥-1, sin(α+γ)≤1,

所以

-1≤D≤5,

故x+2y+3z取值范围为[-1,5].

3 类比联想sec2θ-tan2θ=1

(2010年北京大学自主招生试题)

分析 将已知条件变形可得

(1-z)2-y2=x2.

解 由题设易知0

(1-z)2-y2=x2.

xy+2xz=x2tanθ+2x(1-xsecθ)=

从而

故

例6 若x2+2xy-y2=7(其中x,y∈R),求x2+y2的最小值.

(2013年浙江大学自主招生试题)

解 由x2+2xy-y2=7,得

(x+y)2-2y2=7.

4 类比联想

an>an-1>…>a2>a1>a0,

因此数列{an}是单调递增数列.

5 类比联想

解 由已知条件知

a+c=(1-ac)·b,

故

β=α+γ,

2cos2α-2cos2(α+γ)+3cos2γ=

cos2α+1-cos(2α+2γ)-1+3cos2γ=

2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤

2sin2γ+3cos2γ=3-3sin2γ+2sinγ=

又xn+1=x1,得

tan2nθ=tanθ,

得

于是原方程组的解为

6 类比联想tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

例10 设x,y,z均为实数，且x+y+z=xyz,求证：

分析 待证等式中的每一个分式与正切的二倍角公式相类似，已知等式和待证等式分别是3项和与3项积，自然联想到三角中的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(其中A+B+C=kπ,k∈Z)，进一步观察题设与结论可以发现，只要令x=tanA,y=tanB,z=tanC,此题就容易解决.

因为

x+y+z=xyz,

所以

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

从而

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

即

亦即

tan(A+B)=tan(-C),

得A+B=kπ-C,即

A+B+C=kπ(其中k∈Z),

故

2A+2B+2C=2kπ(其中k∈Z)，

于是tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C,

7 类比联想

例11 设x,y,z∈R+,x+y+z=1,求证:

证明 由x+y+z=1联想到在△ABC中,

故待证式等价于

事实上，在△ABC中，由琴生不等式可知

故待证式成立.

8 类比联想tanθcotθ=1

例12 若a>1,b>1,ab-(a+b)=1，求a+b的最小值.

解 由ab-(a+b)=1,可得

(a-1)(b-1)=2,

9 类比联想万能公式

解 注意到

通过以上解答和分析,我们发现:充分关注条件与结论的结构特征，展开类比联想，探索沟通条件与结论间的联系，采用恰当的换元法，就能左右逢源，迅速找到问题解决的突破口.这不仅培养了学生的思维能力，开发了学生的智力，而且还提高了学生解决问题的能力.