基于Copula-SV的均值-VaR模型

李阿勇

（北京科技大学 东凌经济管理学院，北京 100083）

0 引言

投资组合理论一直是金融领域研究的热点问题，Markowitz投资组合模型理论是解决投资最优策略问题的奠基性研究成果。Hamid Reza Golmakani在《Constrained Portfolio Selection using Particle Swarm Optimization》一文中对Markowitz均值方差模型加入了4个限制条件[1]：持有的资金限制，最小交易批量限制，区域资金分散限制，证券数量限制。该论文首次提出了区域分散对模型的影响。张莉，唐万生讨论了概率准则下的投资组合模型，并研究了中国目前证券市场的整手股票交易和限制买空卖空的要求对模型解的影响。Markowitz利用方差作为资产组合风险的定量方法，利用方差可以对投资者的损失程度进行度量，但在实际应用过程中，投资者更关心的是自己在某一置信水平下的最大可能损失。VaR（Value at Risk）就是在这样一种要求下提出的，VaR作为一种投资风险的测度方法已成为现在风险测度的主流方法，通过设置不同的置信水平可以体现不同投资者对风险的偏好程度。Consigli等学者基于收益率是正态分布的假设，提出了VaR风险测度的投资组合模型，即均值－VaR模型。本文在Consigli等学者的研究基础上，将随机波动模型纳入均值－VaR模型体系中，通过Copula技术构建基于Copula－SV的投资组合模型，同时针对模型设计了两阶段求解算法，仿真实例计算表明模型及设计的算法是可行的。

1 基于Copula－SV的投资组合模型

Markowitz利用方差作为资产组合风险的定量方法，利用方差可以对投资者的损失程度进行度量，但在实际应用过程中，投资者更关心的是自己在某一置信水平下的最大可能损失，而这种损失被定义为资产处于风险的价值（Value at Risk VaR）。VaR作为一种投资风险的测度方法已成为现在风险测度的主流方法，通过设置不同的置信水平可以体现不同投资者对风险的偏好程度。Consigli等学者基于收益率是正态分布的假设，提出了VaR风险测度的投资组合模型，即均值－VaR模型。与均值方差模型不同，由于VaR的定义，均值－VaR模型需要对资产组合的存在性进行讨论。

为了对投资组合的资产风险VaR进行描述，本文引入Copula函数。利用Copula技术构建多元分布，首先要构建各变量的边缘分布函数，同时，SV模型对资产收益波动率具有较强的刻画能力，根据SV模型可以计算单个资产收益率。利用资产组合的VaR对风险进行度量，构造基于Copula－SV的投资组合模型如下：

式中：μ为期望收益率；wi为第i种证券的投资权重；a为买入股票时的交易成本费率；ri为第i种证券的期望收益率；pi0为第i种证券在决策时点的价格；qi为第i种证券要求的最小交易批量；B为资金总额的限制；xi为投资于第i支股票的批量数，我国股市要求最小交易批量单位为 “手”（100股），因此xi为大于0的整数。

2 求解模型的两阶段算法设计

采用两阶段计算方法对Copula－SV的投资组合模型进行计算。第一阶段利用MCMC技术对单个资产收益率SV模型的参数进行估计，并利用本文提到的方法构造Copula函数。根据构造出的Copula函数可以计算资产组合的VaR值。第二阶段利用遗传算法对模型进行迭代计算，求解使得VaR最小的投资组合。

2.1 第一阶段

SV 模型中要估计的参数为（α0，β，ση），记潜在波动率序列为｛σt｝，由参数（α0，β，ση）及｛σt｝构成的联合先验分布的似然函数为：

SV模型的贝叶斯后验分布密度为：

利用Griddy－Gibbs抽样技术对样本进行蒙特卡罗模拟。Griddy－Gibbs抽样的具体过程如下：

给定 Ω 的初始值 Ω（0）＝（β（0），ση（0），α0（0）），经过 t－1 次迭代后 Ω的迭代值为 Ω（t－1）＝（β（t－1），ση（t－1），α0（t－1）），则第 t次迭代过程如下：

（1）沿着格子（Ωi1，Ωi2，…，ΩiG）计算条件密度函数 ki（Ωi｜Y，Ω－i（t－1）），i＝1，2，…，8，可以得到向量 Gki＝（ki1，ki2，…，kiG），其中：

（3）由 U（0，ΦiG）产生 μ，对 Φi（Ωi｜Ω（t－1）－Ωi（t－1）；y）进行逆变换，通过数值插值得到点 Ωit～ki（Ωi｜Y，Ω（t－1）-Ωi（t－1））

（4）重复（1）～（3），则可以得到Ωi＝（Ωi（1），Ωi（2），… ，Ωi（N）），i＝1，2，…，8

通过 Griddy－Gibbs 抽样得到 Ωi=（Ωi（1），Ωi（2），…，Ωi（N）），据此估计模型参数

2.2 第二阶段

本文构造的均值－VaR模型是一个非线性规划问题，其中目标中的VaR通过第一阶段的Copula函数确定，而Copula函数的形式往往比较复杂，这就导致构造的均值－VaR模型的形式也比较复杂，因此，对本模型只能通过一些启发式算法进行求解。遗传算法（Genetic Algorithms，GA）以达尔文的进化论作为依据，模拟自然界的生物进化过程，通过优胜劣汰最终获得最优的结果。最近十几年遗传算法得到了很大的发展和广泛的应用，遗传算法具有很强的稳健性和很高的效率，可以以较大的概率得到全局最优解。传统遗传算法只能求解无约束优化问题，为了对本模型进行求解，需要对遗传算法进行设计。设计遗传算法的总体思路是：采用整数编码方案进行编码，每个基因位对应备选股票，同时，基因位的值表示当前方案中投资备选股票的批量数，在染色体生成过程中将染色体的基因位数值限制在约束（1）范围内。对每一个染色体，判断其是否满足约束（3），如果不满足则随机选择一个基因位进行调整，调整后再进行判断，以此循环，直到满足约束条件。遗传操作中交叉操作和变异操作均采用双点操作，选择操作则采用轮盘赌方法来进行。遗传算法的具体实现过程如下：

2.2.1 编码

采用整数编码，每个染色体含n个基因位（代表n只证券），基因的数值代表投资于该证券的投资权重。

2.2.2 初始化及约束

按照上述编码方式随机生成N个染色体构成初始种群，对于每个染色体最后2个基因位权重以此为

2.2.3 交叉算子

采用双点交叉算子，随机生成2个交叉点，交换2个父体交叉点中间的部分，最后2个基因位权重分别为

2.2.4 变异算子

采用双点变异算子，随机生成2个变异点，对父体中变异点中间的部分进行变异操作，最后2个染色体为

2.2.5 选择更新操作

将父代种群，交叉，变异后得到的新个体混合后得到一个新的种群，利用选择操作在这个新种群中选择N个个体形成新的父代种群。采用轮盘赌选择方法，将适应度大的以较大的概率选为父体进行迭代。由于本模型是求极大值，则当目标函数值大于零时可直接定义适应度值为目标函数。

2.2.6 暂存机制

为了防止最优解在搜索过程中丢失，设立了暂存机制。建立了一个暂存变量用以记录在搜索过程中找到的最优解，在每次更新操作过程中计算种群中所有染色体的适应度值，并将适应度最大值与暂存变量的适应度进行比较，若该值大于暂存变量的适应度值则更新暂存变量为当前值。由于这个机制不在遗传算法内，因此该机制不影响整个遗传算法。

3 实证分析

根据我国证券市场的实际情况，选取“2014年度中国上市公司100强”中的100家上市公司股票作为研究样本。2014年度中国上市公司100强是由中国上市公司发展研究院、中国排行榜与《南方企业家》杂志联合组织评定，于2014年7月30日在广州揭晓。在模型计算过程中，侧重考虑公司发展的长远利益，选取2000年1月到2013年3月期间每月的月收益率作为基础数据。利用这13年的数据进行分析，研究受某些上市公司上市时间较晚、数据不全的影响，本文从这100家公司中筛选出2000年-2014年数据完整的20家上市公司股票。

假定投资者的资金持有总量为1000000元，对每只股票投资最小值设定为0，最高位总额的50%，最小交易单位采用中国证券市场的要求，为1手（100股），模型中的rf值，即市场中的无风险收益率为5年期定期存款的月利率。通过中国人民银行网站获得“金融机构人民币存款基准利率”，5年期定期存款年利率为 5.50%，则可得月利率为 0.4583%，即 rf＝0.004583，买入交易费率为0.3%，卖出交易费率为0.5%。

利用SV模型对这5只股票进行拟合，得到模型中参数如下：

表1 各股票SV模型参数估计

表2 最优投资组合

在不同置信水平α下，利用遗传算法对模型进行迭代计算， 得到最优投资组合权重如下：

4 结论

本文在Consigli等学者的研究基础上，将随机波动模型纳入均值－VaR模型体系中，通过Copula技术构建基于Copula－SV的投资组合模型。并针对模型设计了两阶段算法，其中第一阶段利用MCMC技术对单个资产收益率SV模型的参数进行估计，并利用本文提到的方法构造Copula函数。第二阶段利用遗传算法对模型进行迭代计算。由于模型较为复杂，本文选取4只股票进行仿真，实证结果表明基于Copula－SV的投资组合模型是可行的。

[1]H Markowitz.Portfolio Selection [J].Journal of Finance.1952（7）：77～91.

[2]H Markowitz.Portfolio Selection： Efficient Diversification of Investments[M].New York：Wiley，1959.

[3]M G Speranza.Portfolio Selection with Fixed Costs and Minimum Transaction lots [M].Metodi Quantitativi， University of Brescia，Italy：Report no.134 Dip，1997.

[4]H Konno.A Wijayanayake.Portfolio Optimization Problem under Concave Transaction Costs and Minimal Transaction Unit Constraints [J].Mathematical Programming，2001（89）：233-250.

[5]S Hamed，R G Hamid，H S Mohammad.Markowitz －based Portfolio Selection with Minimum Transaction Lots Cardinality Constraints andRegarding Sector Capitalization Using Genetic Algorithm [J].Expert Systems with Applications，2009（36）： 5058-5063.

[6]C C L， Yi T L.Genetic Algorithms for Portfolio Selection Problems with Minimum transaction [J].European Journal of Operational Research，2008（185）：393-404.

[7]R G Hamid，F Mehrshad.Constrained Portfolio Selection using Particle Swarm Optimization [J].Expert Systems with Applications，2011（38）：8327-8335.

[8]陈学荣，张银旗，周维.投资组合理论及其在中国证券市场中的应用研究[J].系统工程，2000（5）：6-13.

[9]何朝林，王旭.证券组合模型系数的二次规划求解[J].安徽机电学院学报，2001（2）：57-61.

[10]荣喜民，张奎庭，王晨亮，等.有交易成本的证券投资研究[J].系统工程学报，2003（5）：198-202.