基于区间摄动理论的隧道结构响应分析

丁健峻,薛齐文,刘旭东

(1.大连交通大学 土木与安全工程学院,辽宁 大连 116028;2. 北京机械设备研究所,北京 100854)

基于区间摄动理论的隧道结构响应分析

丁健峻1,薛齐文1,刘旭东2

(1.大连交通大学 土木与安全工程学院,辽宁 大连 116028;2. 北京机械设备研究所,北京 100854)

基于区间摄动理论，针对隧道结构不确定量，结合基于单元的有限元方法，建立了隧道结构区间求解模型.该模型采用8节点等参元进行离散，同时考虑物理参数不确定性、材料非均质不确定性和荷载不确定性，利用区间有限元方法，对模型进行了不确定性分析，得到了隧道结构静力响应的区间范围，并将结果与ANSYS软件分析结果相对比.数值结果表明该模型在求解隧道结构不确定性问题是有效的、可行的.

响应分析；不确定性；区间摄动理论；区间有限元

0 引言

岩土工程是一个高度复杂的不确定和不确知系统，在以往的分析中，学者们将结构参数、初始条件及边界条件等均视为确定量进行分析求解，使结果存在一定的误差甚至是错误.近年来，随着全国各地高速公路、高速铁路的飞速发展，加之科学技术以及人们环境保护意识的增长，以往高挖高填的施工、设计工艺越来越不能满足人们的各项需求，随之而来的是隧道工程在工程实际中所占比例提高.近年来许多学者投身于隧道结构的研究中去，但多是基于确定性进行分析研究的.为了得到更加准确且对工程实际有指导意义的分析结果，对于隧道结构不确定性问题的研究尤为重要.

针对不确定性问题的不同类型，目前主要存在三种方法进行求解：随机模型、模糊模型、区间分析模型[1].区间分析模型，无需依赖大量统计数据来描述不确定参数的概率分布或者隶属函数，仅需通过不确定参数的取值范围，便能求解出响应的区间范围，更加符合工程实际.这有助于该模型在工程实际应用中的推广，区间摄动理论在区间模型求解过程中也能很好的提高求解效率，减少计算成本.区间分析模型在其他领域应用较广，并且取得了很多成果[2-4]，但对于隧道结构的应用而言还相对较少.

鉴于以上原因，本文基于区间摄动理论，结合基于单元的有限元方法，建立了隧道结构求解模型，将隧道结构及其周围岩土视为半无限体，同时考虑物理参数、初始条件及所用材料的不确定性对该结构模型进行静力响应分析，给出了相应的数值算例，将不确定性计算结果与ANSYS软件分析出的确定性结果相对比.计算结果表明，所提数值求解模型在对隧道结构静力响应不确定性问题进行分析时有良好的精度是有效的、可行的.

1 有限元模型

基于单元的有限元控制方程[3]：

KU=F

(1)

引入区间摄动理论,其中:

将式(1)展开后可得到基于区间摄动理论的单元的有限元方程：

(2)

即，可将工程分解成确定性部分和不确定性部分：

FC=KCUC

(3)

(4)

忽略高阶项得：

(5)

将式(3)和(5)利用数学变换后可得：

(6)

(7)

令ΔU=ΔU1即得到位移的1阶摄动解：

(8)

将式(8)带入式(4)并舍去高阶项整理后可得位移的2阶摄动解：

(9)

同理亦可得到位移的n阶摄动解，由此可知

(10)

其中，K代表结构刚度阵，U为结构位移列向量，F为外荷载列向量，ΔK,ΔU,ΔF表示相应参数的微小摄动量.

由此，通过区间摄动理论，将式(1)分离成表达形式均为确定性形式的确定性部分式(3)和不确定性部分式(4)，得到1阶摄动解式(8)与2阶摄动解式(9)，同理亦可推算出n阶摄动解，本文计算中，通过联立方程式(3)和式(5)，求解算例，推算至位移响应的三阶摄动解，一定程度上提高了计算结果的精度.

2 模型建立

如图1所示，结构底边长10.6m，高11.3m，厚度选取为单位厚度， 隧道弧顶半径为2m， 宽4m，高5m，隧道结构衬砌部分厚度为0.3m，隧道路基填筑为1m.

图1 隧道模型

结构划分时采用8节点等参元进行网格划分，共计划分88个单元，316个节点，为方便分析，选取测点1,2,3,4,5,6，如图2所示.计算时，考虑结构为半无限体，对除结构顶边外的其余三边上各节点进行全约束，即Ux=Uy=0.

图2 模型单元划分及测点分布

3 算例

考虑隧道结构的区间静力问题，如图1所示的隧道结构，网格划分及测点分布如图2所示，考虑结构的各物理参数、初始条件为区间变量时，分析该截面测点的区间静力位移响应问题，并将计算结果与ANSYS分析的确定性结果相对比.

算例1 在结构顶端施加一恒定荷载F=10kN,对图中所示各点进行位移响应分析.假设确定性情况下弹性模量E=2 000MPa，泊松比μ=0.3.计算结果见表1，表2.

表1 区间计算结果1

注：表中位移单位为mm，下表同

由表1，表2可知，结构参数区间范围的改变并不影响区间中值的计算结果，仅改变区间结果的范围大小，这与前文公式相一致.区间中值计算结果与ANSYS分析结果基本一致，能较好的满足计算精度.

表2 区间计算结果2

表3 区间计算结果3

表4 区间计算结果4

表5 区间计算结果5

算例2 在结构顶端施加一恒定荷载F=10kN,假设在确定性情况下，衬砌结构及隧道路基的弹性模量E2为3 000MPa，其余部位弹性模量E1为2 000MPa，泊松比μ皆为0.3.计算结果见表3～表5.

由表3～表5可知，当考虑材料参数的不均匀性时，计算结果同样满足前文公式，区间范围大小的改变并不影响区间中值结果，仅对区间结果的范围有影响，并且区间中值计算结果与ANSYS分析结果基本一致，进一步验证了该模型对于隧道结构不确定性静力分析的有效性与可行性.

4 结论

本文将区间摄动理论与有限元方法相结合，针对结构的静力问题，对具有区间参数的隧道结构静力响应问题进行了分析.通过数值算例，验证了所建立的数值计算模型在计算具有区间参数的隧道结构静力响应问题的分析和求解中的有效性和可行性，并且有良好的计算精度，有望于进一步对动力问题进行研究.

[1]苏静波,邵建国.基于区间分析的工程结构不确定性研究现状与展望[J].力学进展,2005,35(3):338-344.

[2]杜秀云,唐祯安,薛齐文.瞬态热传导温度场不确定性区间数值分析[J].功能材料,2013,44(11):1558-1561.

[3]苏静波.工程结构不确定性分析及其工程研究[D].南京:河海大学,2006.

[4]SHAO GUOJIAN,SU JINGBO.Interval Finite Element Method and Its Application on Anti-Slide Stability Analysis[J]. Applied Mathematics and Mechanics (English Edition),2007,28(4):521-529

[5]GUO SHUXIANG,LV ZHENZHOU.Interval Arithmetic and Static Interval Finite Element Method[J]. Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2001,22(12):1390-1396.

[6]苏静波,邵国建,刘宁.基于单元的子区间摄动有限元方法研究[J].计算力学学报,2007,24(4):524-528.

Tunnel Structure Response Analysis based on Interval Perturbation Theory

DING Jianjun1,XUE Qiwen1,LIU Xudong2

(1.School of Civil and Safety Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China;2.Beijing Insititute of Machinery and Equipment,Beijing 100854,China)

A numerical model is established on the basis of combining finite element method and the interval perturbation theory to solve uncertainty problem for the tunnel structure. This model discrete by 8-node isoparametric element,and is solved by the interval finite element method considering the physical parameter uncertainty,the material heterogeneity uncertainty and the load uncertainty.The effectiveness and feasibility of the model is proved by the comparison of the interval analysis results with certainty results with ANSYS.

response analysis;uncertainty;interval perturbation theory;interval finite element method

1673- 9590(2015)01- 0068- 04

2014-01-31

丁健峻(1986-)，男，硕士研究生；薛齐文(1976-)，男，教授，博士，主要从事传输反问题、计算力学的研究

A

E- mail:sanji_911@163.com.