基于闭环灵敏度的微加速度计制造误差的评估

何江波，谢 进，何晓平，杜连明，周 吴

(1.西南交通大学机械工程学院，四川成都 610031；2.中国工程物理研究院电子工程研究所，四川绵阳 621900；3.电子科技大学机械电子工程学院，四川成都 611731)



基于闭环灵敏度的微加速度计制造误差的评估

何江波1，谢 进1，何晓平2，杜连明2，周 吴3

(1.西南交通大学机械工程学院，四川成都 610031；2.中国工程物理研究院电子工程研究所，四川绵阳 621900；3.电子科技大学机械电子工程学院，四川成都 611731)

微加速度计的制造误差对灵敏度、量程、线性度等指标均有重要影响，文中基于电测法和微加速度计的闭环灵敏度，提出了一种简便且准确的评估制造误差的方法。文中首先基于有限元法提取了梳齿电容与质量块位移之间的函数关系。其次，基于电容-位移函数以及闭环微加速度计必须满足的平衡条件，推导出了灵敏度的计算公式。最后，基于灵敏度公式与实测灵敏度值，反推得到微加速度计的制造误差。文中以两种不同几何尺寸的微加速度计为例，通过实验验证了文中所提出方法的正确性。

制造误差；微加速度计；电测法；灵敏度

0 引言

微机电系统(MEMS)器件的制造技术虽然与宏观机械制造技术有很大的不同，但同样存在一定的制造误差。制造误差将使器件的实际尺寸与设计尺寸产生偏差，如图 1所示，虚线表示设计尺寸，实线表示实际尺寸，它们之间的差值便是制造误差。研究表明，制造误差对微弹簧的刚度[1]、微谐振器的谐振频率[2]、微可调电容器的电容值[3]、微陀螺仪的鲁棒性[4]都会产生重要影响。

在微加速度计中，制造误差必然要影响到电容间隙与支撑梁的梁宽等关键几何尺寸[5]，进而对微加速计的灵敏度、量程、线性度等性能参数产生重要影响。因此，对微加速度计的制造误差进行评估具有重要意义。

MEMS器件的几何尺寸可以通过高精密的电子扫描显微镜(SEM)进行测量[6]。但是电子扫描显微镜的调试非常耗费时间和精力，因此这种方法不适合于大批量的实验测量。一种适合大批量实验测量的方法是电测法，即利用电路测量得到的器件的关键参数反推器件的几何尺寸。文献[7]～文献[8]提出了通过测量谐振频率反推微谐振器的制造误差。

图1 制造误差示意图

文献[9]根据微加速度计的静电力与重力平衡的关系式,求解出微加速度计的实际机械参数。但是这种方法既要测量静电力，又要测量开环灵敏度，测量步骤比较多。并且用于反推机械参数的公式忽略了边缘电容，与实际情况有差距。

本文基于电测法，只需闭环灵敏度一个参数便可评估制造误差，并且采用有限元法推导闭环灵敏度的公式，因而考虑了边缘电容。

1 微加速度计的电容-位移函数关系

图2所示为本文所研究的微加速度计的结构示意图，显然表芯包含了四个相同的梳齿结构。为了减小计算量，取其中一个梳齿结构进行计算即可，单个梳齿结构如图3所示。

图2 微加速度计示意图

图3 梳齿结构

如果质量块的位移为z，则可以利用有限元方法得到与之相对应的电容C。因而，只要取足够多的计算点，就可以得到电容与位移之间的函数关系曲线(C-z曲线)。图4为利用大型有限元仿真软件COMSOL Multiphysics[10]得到的C-z曲线。将C-z曲线进行用三次多项式拟合可以得到

C(z)=k0+k1z+k2z2+k3z3

(1)

式中k0，k1，k2，k3为拟合系数。

显然，梳齿结构的几何尺寸发生变化，C-z曲线也必定会发生变化，因此k0，k1，k2，k3都与几何尺寸相关。

图4 电容位移曲线

2 微加速度计的灵敏度的计算公式

图5为闭环微加速度计，质量块上加有恒定的直流电压VD，固定梳齿上则施加反馈电压，也是最终的输出电压Vout。

由于微加速度计采用深度负反馈控制，因此其达到平衡状态时必须满足2个条件：一是差分电容(C1-C2)必须等于零；二是敏感方向上质量块必须满足静力平衡。下面将由这2个条件推导出灵敏度的计算公式。

图5 闭环微加速度计示意图

当质量块受到惯性力ma作用时，将产生一个位移x=ma/Km，Km为支撑梁的等效刚度。另外，无论有无加速度输入，质量块总是存在一个初始位移x0，它是由热应力引起的[5]。

由于C1与C2组成了差分电容，如果位移(x+x0)使C1增大，则C2必将减小，反之亦然。因此C1与C2可以表示为

C1=2k0+2k1(x+x0)+2k2(x+x0)2+2k3(x+x0)3

C2=2k0-2k1(x+x0)+2k2(x+x0)2-2k3(x+x0)3

(2)

因而差分电容可以表示为：

C1-C2=4k1(x+x0)+4k3(x+x0)3

(3)

梳齿电容的仿真数据表明系数k1和k3都大于0，则为了保证差分电容等于0，质量块的位移(x+x0)必然等于0。

微加速度计的电场能可以表示为

(4)

根据虚功原理，并结合式(2)，可以得到当位移(x+x0)=0时，微加速度计所受的静电力：

(5)

计入惯性力和弹簧回复力，则微加速计的力平衡方程可以表示为

-ma+4k1VDVout-Km(-x0)=0

(6)

将式(6)整理可得

(7)

灵敏度定义为系统输出随输入变化的敏感程度,通常用输出与输入的线性比值来表示。 因而，由式(7)右边的第二项可得微加速度计的灵敏度计算公式

(8)

3 微加速度计制造误差的评估

在式(8)中，质量m和系数k1都与微加速度计的几何尺寸相关，那么它们必然会受到制造误差的影响。由制造误差与设计尺寸可以求得结构的实际体积，再乘上密度便可以得到质量，因此质量m与制造误差之间的关系式是比较简单的。

但是系数k1是由有限元法提取的，因此k1并没有确切的解析公式，因而即使由实验测量得到了某一个微加速度计的灵敏度值，也不能计算得到其制造误差。

为此，本文提出利用插值法反推制造误差，具体步骤分为4步，其流程如图6所示。第1步：预估一组制造误差；第2步：确定这组误差中，每个误差对应的质量m，并用有限元法确定系数k1；第3步，将每个误差对应的m和k1代入式(8)的得到灵敏度值。由于不同的误差对应不同的灵敏度，因此最终将得到一条灵敏度-预估误差曲线；第4步，根据灵敏度-预估误差曲线和实测灵敏度，利用插值法得到每个微加速度计的实际制造误差。

图6 制造误差计算流程

本文选择在相同的制造工艺和设备条件下，结构相同但具体尺寸不同的两种微加速计进行研究。这两种加速度计分别以A#和B#表示。微加速度计采用深反应离子刻蚀与硅-玻璃键合工艺进行制造，加工完成的表芯结构如图7所示。

图7 表芯结构SEM图

A#和B#两种结构的预估制造误差都设为0.3 μm,0.5 μm,0.7 μm,0.9 μm,1.1 μm,1.3 μm,1.5 μm,它们所对应的灵敏度-预估误差曲线如图 8所示。

图8 灵敏度-预估误差曲线

本文中A#和B#两种微加速度计都选择了25个样品，通过实验测量得到的灵敏度值列于图9和图10中。

图9 A#微加速度计的实测灵敏度值

图10 B#微加速度计的实测灵敏度值

通过插值计算，它们对应的制造误差列于图 11中。从图中可知，每个微加速度计的制造误差都不相同，但它们都分布在一定的范围之内。A#微加速度计的制造误差的平均值为0.854 μm，标准差为77.6 nm；B#微加速度计的制造误差为0.872 μm，标准差为81.8 nm。显然，A#和B#两种微加速度计的制造误差的平均值和标准差都比较接近。

图11 微加速度计的制造误差

由于制造误差只与制造工艺和设备有关，而与被加工的微加速度计的具体尺寸无关。所以，A#和B#两种微加速度计的制造误差应该相同，实验结果正好验证了这一点，说明了本文提出方法的正确性和有效性。

4 结论

本文基于电测法，提出了利用微加速度计的闭环灵敏度对微加速度计的制造误差进行评估的方法。选择了A#和B#两种结构类型相同，但具体尺寸不同的微加速计作为研究对象。研究结果表明两种微加速度计的制造误差的平均值和标准差非常接近，从而证明了本文提出方法的正确性。

制造误差评估的结论不但可以运用于微加速度计的设计和分析中，同样可以运用于改进和优化制造微加速度计的工艺。

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Assessment for Fabrication Errors of Micro-accelerometers Based onClosed-loop Sensitivity

HE Jiang-bo1,XIE Jin1,HE Xiao-ping2,DU Lian-ming2,ZHOU Wu3

(1.School of Mechanical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China;2.Institute of ElectronicEngineering,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900，China;3.School of Mechatronics Engineering,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China)

Fabrication errors of micro-accelerometers have significant impacts on the sensitivity,measuring range and linearity of micro-accelerometers.Based on electrical measuring method and closed-loop sensitivity of micro-accelerometers,a convenient and precise method to assess the fabrication errors was proposed in this paper.The functional relationship between the displacement of proof-mass and comb-capacitance was obtained based on finite element method.Furthermore,based on the capacitance-displacement functional relationship and static equilibrium equation that closed-loop micro-accelerometers satisfies,the formula of sensitivity is derived.Finally,based on the sensitivity formula and measured values of sensitivity，fabrication errors of micro-accelerometers were obtained.Two kinds of micro-accelerometers with different designing sizes were taken as examples to demonstrate the correctness of the method proposed in this paper.

fabrication errors;micro-accelerometers;electrical measuring method;sensitivity

国家自然科学基金项目(51175437)中央高校基本科研基金项目(ZYGX2011J085)

2014-10-25 收修改稿日期：2015-03-07

TH73

A

1002-1841(2015)08-0033-03

何江波(1987—)，博士研究生，主要研究方向为MEMS器件的结构设计及稳定性分析。E-mail：chuihaol@aliyun.com