圆锥曲线离心率的求解

魏源

摘 要：圆锥曲线离心率的求解，是当今高考必不可少的一个考点，在学生的学习和教师的教学中都存在一些困惑，为此笔者结合近些年的高考动向及各省市的高考试题研究分析，利用方程思想去解决圆锥曲线离心率的问题，收到了较为理想的效果。

关键词：圆锥曲线；离心率；求解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-201-02

圆锥曲线离心率的求解是当今高考的一个重点，也是一个难点，近些年来，各地高考对圆锥曲线的求解的认识及解决策略有着大量的研究，也取得丰硕成果，但笔者就今年高考动向及各省市高考试题分析发现利用方程思想，以及圆锥曲线的几何性质与数形结合的思想，对于解决圆锥曲线离心率问题，起着积极而有效的作用。

一、关于离心率的考点的几点认知

从近几年高考动向分析，圆锥曲线离心率关键考点在于圆锥曲线的定义和标准方程及离心率与准线方程，结合个省市高考试题看，对圆锥曲线求解的认识及解决的主要问题在于求圆锥曲线的离心率的值和求离心率的取值范围，所以笔者在教学中，尽力将方程思想与圆锥曲线的几何性质、数形结合起来，起到良好的教学效果。

二、离心率问题的解决的几种办法

从近几年全国及各省市高考试卷的分析发现，对于圆锥曲线离心率问题解决主要由以下几种办法：

（1）直接求出a，c.求解e

（2）利用公式，求出整体e

（3）利用第二定义法

（4）构造a，c齐次式，解出e

三、抓住圆锥曲线离心率问题解决的核心

作为高考重点和难点的圆锥曲线离心率问题，理所当然的被高中教师及学生高度关注，有关这方面的研究及论文在网上随处可见，也还有求离心率的相关资料书籍可到处查寻，但关于离心率的求解问题一直困扰在同学们心中，每次的问题都不一样，学生遇到这类题的时候，就只得望而生畏，毫无头绪，无法得到准确而满意的解答，所以，笔者近年积极加强这方面的研究和思考，主要从相关省市高考试题入手，努力探寻圆锥曲线离心率问题解决的核心，为学生打开思维之门。比如：从重庆这几年的高考试卷中分析得到，离心率的常见考法，就是建立方程思想来解决求值以及范围。下面我从以下案例来进行分析：

案例1：设F1，F2分别为双曲线 ﹣ =1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，则该双曲线的离心率为（ ）

本题来自2014重庆理科数学8题，主要考点双曲线的简单性质，难度属于中档题，很多网站考点分析都是说用的第二定义来求离心率，学生并不熟悉的焦半径公式。

解：不妨设右支上P点的横坐标为x

由焦半径公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴2ex=3b，（ex）2﹣a2= ab

∴ b2﹣a2= ab

∴a= b，

∴c= = b，

∴e= = .

这类型的题目的主要是让学生善于思考问题，那么教师应该思考的问题是离心率的核心是什么，即如何建立a，c之间的关系，如果找到这个关系，也就能解决离心率了，离心率不是一个双曲线具体的方程，是刻画圆锥曲线的共性的东西，有利于反应圆锥曲线的图像性质，所以教师只需要建立方程就把问题解决了，而且明显是第一定义来建立方程，下面就是方程的思想解法：

解：不妨设双曲线上有一点P，那么P点应该满足双曲线的定义

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴||PF1|-|PF2||=2a

左右平方，通过重新配方可得

∴（|PF1|+|PF2|）2﹣4|PF1|·|PF2|=4 a2

将条件代入上式中，可得一个关于a，b的方程

∴9b2﹣4a2=9ab然后易得e= = .

案例1的反思：两种思路去解题，很多老师为了学生能够解决，给他们总结了很多方法，不仅让问题得到解决，还加重了学习的负担，关键在于没有从问题的核心思考；第二种解题明显快速切入主题，找准要害，直接建立方程，得到了答案，所以只要找准了方程，离心率的值可以很快的求出，根据这一思想，其实离心率的范围也是一样，把方程的思想推广到不等式上面即可。

案例2：双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，P为双曲线C的右支上一点， 为 的内心，记 的面积分别为 ，若 ，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）

分析：双曲线的取值范围的求解和求值有相同的理论基础，题目中很明显有一个不等式，那么离心率的范围要借助题目中的不等式来解决，那就得表示出不等式，一切问题都解决了。

解 设 ，内切圆的半径长为

则 ，

由题可得

≥ 即 ≥

≥ 即 ≤

.

案例2反思：本题是2015重庆理科二诊13题，看起来本题毫无头绪，但是仔细去雕琢它，发现其核心思想是把不等式表示出来，然后通过去约分，本题就不再那么困难了。

四、探本求源是解决问题的关键

通过以上案例，不难发现：所有求离心率的方法似乎可以万法归一，即建立方程，紧密结合圆锥曲线离心率和数形特点去解决其求值和取值范围，能够取得满意的效果。同时，在解决此问题时，告诉人们：任何知识问题的存在，都有其根本原因的，问题解答者，不能光去追逐问题的解决办法，应更多的去思考产生这个问题的根本原因是什么，探本求源是解决问题的关键，只有挖掘了问题产生的根本原因，才会得到快速解决问题的关键因素，及问题的核心要素，比如离心率的核心就a，c之间的关系，找到了问题的核心，问题就能迎刃而解了。