斜齿轮体积优化过程中建模方法的研究

王　成，沈婷婷(济南大学机械工程学院，山东济南250022)

斜齿轮体积优化过程中建模方法的研究

王成*，沈婷婷
(济南大学机械工程学院，山东济南250022)

摘要:针对目前齿轮体积优化设计中建模所存在的问题，以斜齿轮为研究对象，提出了斜齿轮体积建模的方法。首先分析了顶隙和变位系数对斜齿轮体积的影响，推导出由二者引起的间隙体积计算公式，以某斜齿轮为例，对间隙体积进行计算。结果表明，在齿轮体积精确计算等要求下，间隙体积不应忽略。其次，推导出不同结构下斜齿轮的体积计算公式，在Solidworks中建立相应的三维模型进行验证。最后，以斜齿轮设计参数为优化变量，以满足斜齿轮设计和传动要求为约束条件，以齿轮体积总和最小为优化目标，同时对需要查图表获得的参数进行公式化处理，利用MATLAB软件中的遗传算法工具箱进行优化，对优化结果进行标准化处理和圆整。以《机械设计》中某单级斜齿轮传动为例，利用上述方法进行优化设计，结果表明，优化后的齿轮体积减小了18.23%。

关键词:斜齿轮;体积;优化设计

0　引言

与常规齿轮设计方法相比，齿轮机构优化设计对于提高齿轮的传动性能具有重要意义［1-3］。以齿轮体积总和最小(或质量最轻)为优化目标一直是齿轮优化设计研究的热点。如Yokota［4］利用改进的遗传算法来求解直齿轮重量优化问题。Savsani［5］以单级直齿轮重量最轻为优化目标，分别利用粒子群算法和模拟退火算法来获得直齿轮最优设计参数，并与Yokota所采用的方法进行比较，结果更加精确。David［6］提出了一种适用于任意轮系的多目标优化方法。Chong［7］利用模拟退火算法来进行齿轮箱最小体积优化，完成了多级齿轮传动参数的初步设计。Sa'id［8］提出了齿轮箱体积优化的一种目标函数和约束条件的通用表达方式。Nenad［9］利用轮系选择矩阵对直齿轮进行优化。张少军［10］提出了一种直齿圆柱齿轮传动设计的全局优化方法。张干清［11］基于可靠灰色粒子群算法对盾构机行星减速器轮系进行了多目标优化设计。蒋春明［12］基于MATLAB优化工具箱的计算方法，对汽车变速器进行了多目标可靠性优化设计。

研究者的工作主要集中在优化算法上，而在目标函数建模方面却缺乏相关研究，其主要体现在［13-14］: 1)计算齿轮体积时常采用简化的方法，因此存在误差; 2)缺乏对所用或所推导体积公式的验证; 3)齿轮采用固定的结构，优化过程中未考虑齿轮尺寸变化而引起齿轮结构变化的情况。

基于上述问题，本文的工作主要集中在齿轮体积建模方面。在考虑顶隙和齿轮变位对齿轮体积影响的基础上，分别推导出不同结构下齿轮的体积计算公式，并在Solidworks中建立相应的三维模型，验证所推导体积计算公式的准确性。以斜齿轮设计参数为优化变量，以满足齿面接触强度和齿根弯曲强度等为约束条件，以齿轮体积总和最小为优化目标，对程序中需要查表或查图获得的参数进行公式化处理，利用MATLAB软件中的遗传算法工具箱进行优化，对优化结果分别进行标准化处理和圆整，对优化前后的结果进行对比。

1　顶隙和齿轮变位对斜齿轮体积的影响

齿轮体积可以分为3部分，即，轮齿部分、轮辐部分和轮毂部分。对于轮齿部分体积的计算，通常是将分度圆至齿顶圆间的实体部分倒放到分度圆至齿根圆间的齿槽中(如图1所示)。这样，计算轮齿体积时将其作为直径为d(分度圆直径)的圆柱来考虑。但由于顶隙和齿轮变位的存在，上述计算方法显然存在误差。因此，推导出由于顶隙和齿轮变位(假定齿全高不变)而导致的间隙体积计算公式，并对其影响进行分析。

图1　轮齿部分计算示意图Fig.1 Calculation schematic diagram of tooth part volume

1.1间隙体积的推导

斜齿轮按圆柱展开后齿向为一条倾斜的直线。因此，将间隙体积近似看做沿齿向的长方体(图2)。其中，a为齿顶圆上的齿厚sa，h为间隙高度(即倒放齿顶到齿根圆的距离)，l为轮齿的长度。

图2　间隙体积Fig.2　The clearance volume

整个齿轮间隙体积计算公式为

需要说明的是，当齿轮不变位或采用负变位时，间隙体积为正;当采用正变位时，间隙体积可能为负，即此时齿顶进入齿根圆中。

1.2间隙体积的影响分析

以某实体斜齿轮为例，对间隙体积进行计算，与齿轮体积进行对比，计算结果见表1。

表1　间隙体积的影响分析Tab.1　The affection of clearance volume

从表1中可以看出，该实例中的间隙体积不应忽略。总的来说，当存在下述情况时，间隙体积应该考虑: 1)齿轮体积较小; 2)齿轮变位系数绝对值较大; 3)精确计算齿轮体积。

2　斜齿轮体积计算公式的推导及验证

齿轮的结构与其几何尺寸有关。根据齿轮齿顶圆直径的不同，齿轮结构可分为实体式、腹板式和轮辐式，而轮辐截面又包括十字形和工字形2 种(表2)。下面分别推导这4种齿轮结构的体积计算公式，并建立相应的三维模型进行验证。

表2　齿轮的结构Tab.2　The structure of gear

2.1实体式齿轮体积公式

实体式齿轮的结构见图3，其体积公式为

式中，b为齿宽，z为齿数，mn为法面模数，dzh为与齿轮配合的轴径，β为螺旋角，V″为间隙体积。

图3　实体式结构Fig.3　The solid structure

2.2腹板式齿轮体积公式

腹板式齿轮的结构见图4，其体积分为3部分，轮齿部分体积:

轮辐部分体积:

轮毂部分体积:

总体积:

式中，b为齿宽; z为齿数; mn为法面模数; dzh为与齿轮配合的轴径;β为螺旋角; dv为轮缘的内径，dv≈da－( 10～14) mn，da是齿顶圆直径; dn为轮毂的外径，dn≈1.7dzh; dp为腹板上孔的直径，dp= ( 0.25～0.35) ( dv－dn) ; c为腹板的宽度，c = ( 0.2 ～0.3) b; n为孔的个数; V″为间隙体积。

图4　腹板式结构Fig.4　The web-type structure

2.3轮辐式齿轮体积公式

根据齿顶圆直径不同，轮辐截面分为“十”字形和“工”字形(图5)。

图5　轮辐截面的形状Fig.5　The section of spoke

2.3.1轮辐截面为“十”字形

轮辐截面为“十字”形的轮辐式结构如图6所示，其体积分为3部分，轮齿部分体积:

轮辐部分体积:

整理得

轮毂部分体积:

总体积:

式中，b为齿宽; z为齿数; mn为法面模数; dzh为与齿轮配合的轴径;β为螺旋角;Δ为轮缘的厚度，Δ≈( 3～4) mn; dv为轮缘的内径，dv= d－2( han*+ cn*－yn) mn－2Δ，da是齿顶圆直径，yt为端面变位系数; dn为轮毂的外径，dn≈1.7dzh;轮辐的相关尺寸，Δ2≈( 1～1.2)Δ，c≈0.8dzh/5，c1≈0.8dzh/6，b1≈0.9dzh，h = b－0.8dzh/3; V″为间隙体积。

2.3.2轮辐截面为“工”字形

轮辐截面为“工”字形的轮辐式结构如下图7所示，其体积分为3部分，轮齿部分体积:轮辐部分体积:整理得轮毂部分体积:总体积:

V+= V1+ V2+ V3－V″，(16)

式中，b为齿宽; z为齿数; mn为法面模数; dzh为与齿轮配合的轴径;β为螺旋角;Δ为轮缘的厚度，Δ≈(3～4) mn; dv为轮缘的内径，dv= d－2(han*+ cn

*－yn) mn－2Δ，da是齿顶圆直径，yt为端面变位系数; dn为轮毂的外径，dn≈1.7dzh;轮辐的相关尺寸，Δ2≈(1～1.2)Δ，c≈0.8dzh/5，c1≈0.8dzh/6，b1≈0.9dzh，h = b－0.8dzh/3; V″为间隙体积。

图6　“十”字形结构Fig.6　The cross shape structure

图7　“工”字形结构Fig.7　The H-shape structure

2.4体积公式的验证

利用Solidworks中的属性命令可以显示所建齿轮的体积。因此，分别建立斜齿轮的三维模型(图8)。利用Solidworks计算斜齿轮的体积，与所推导公式计算得到的体积进行对比，结果如表3所示。

图8　齿轮的三维模型Fig.8　The three-dimensional modeling of gear

表3　齿轮体积公式验证Tab.3　The verification of formula of gear volume

以表3中的实体齿轮为例，分析变位对齿轮体积计算公式的影响。从表4中可以看出，当齿轮不变位时，二者基本没有误差;采用负变位时，公式计算体积要大于三维模型体积;采用正变位时，公式计算体积要小于三维模型体积。存在误差的原因包括: 1)实际齿厚无法完全与齿槽重合，特别是在变位情况下，因此所推导的间隙体积公式存在一定误差; 2)利用Solidworks计算斜齿轮的体积时，相关参数的取值存在误差。例如，输入的是法面模数，而实际用到的是端面模数，Solidworks在将法面模数转化为端面模数过程中，取值存在取舍。由于最大误差不超过5%，而优化后的体积通常可以减小5%以上。此外，优化所选用的一对齿轮采用等变位，因此，所推导的公式是可以采用的。

表4　齿轮变位对体积计算公式的影响Tab.4　The affection of modification

3　优化设计

3.1优化目标

单级斜齿轮传动简图如图9所示，以所有齿轮体积总和最小为优化目标，其体积计算公式可以表示为

在优化过程中，根据齿顶圆直径的变化，Vi(i=Ⅰ，Ⅱ)采用不同结构的体积计算公式(式(2)、(6)、(11)和(16))。

图9　单级斜齿轮传动简图Fig.9　Diagram of single stage gear transmission

3.2斜齿轮的设计变量

斜齿轮的基本参数包括:齿数、法面模数、压力角、螺旋角、法面顶隙系数和法面齿顶高系数。其中，压力角、法面顶隙系数和法面齿顶高系数一般取标准值。从动轮齿数可以用主动轮的齿数和传动比来表示。此外，齿轮设计还中涉及了齿宽、与齿轮配合的轴径以及齿轮变位。基于以上分析，斜齿轮的设计变量为

其中，mn为齿轮的法向模数; z1为主动轮的齿数; yn1，yn2分别为齿轮的法面变位系数; b为齿轮的齿宽(假定主从动轮的齿宽相等) ; dzh1，dzh2分别为与主从动齿轮配合的轴径;β为齿轮的螺旋角。

3.3约束条件

以满足斜齿轮设计和传动要求为约束条件，主要包括:

1)保证斜齿轮不发生根切;

2)齿宽系数在0.9～1.4之间;

3)采用等变位;

4)螺旋角在8°～20°之间;

5)满足浸油要求;

6)满足齿面接触疲劳强度;

7)满足齿根弯曲疲劳强度;

8)与齿轮配合的轴满足强度要求。

此外，对查图表获得的参数进行公式化处理。

4　优化算例

以《机械设计》［15］例题中斜齿轮设计为例(传动比为3.2，该题目中未给出与小轮配合的轴径，这里假定为20 mm。)，利用MATLAB软件中的遗传算法工具箱进行优化，对优化结果进行标准化处理和圆整，优化前后的结果见表5。优化后的间隙体积为5 910.5 mm3，占总体积的0.7%。

表5　优化前后结果对比Tab.5 Comparison of optimal results and preliminary design

5　结论

1)推导出顶隙和齿轮变位(假定齿全高不变)产生的间隙体积公式。在体积计算公式中考虑间隙体积的影响，从而使齿轮体积计算公式更加精确。

2)推导出不同结构下的齿轮体积计算公式，与Solidworks中所建模型进行对比，验证了所推导公式的准确性。

3)以某单级斜齿轮传动为例，利用MATLAB软件中的遗传算法工具箱进行优化，对优化结果进行标准化处理和圆整。结果表明，优化后的齿轮体积减小了18.23%。

这里需要明确指出的是，本文的工作主要集中在齿轮体积建模方面。

参考文献

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［15］濮良贵，纪名刚.机械设计［M］.北京:高等教育出版社，2006.

Study on volume modeling in process of volume optimization of helical gear

WANG Cheng，SHEN Ting-ting
(School of Mechanical Engineering，University of Jinan，Jinan，Shandong 250022，China)

Abstract:In the light of the current problems in the volume optimization design of gear，a helical gear is studied，and the method of helical gear volume modeling is proposed.First，the influences of tip gap and the modification coefficient on the helical gear volume are analyzed.A formula for solving clearance volume is derived.An example is provided to verify the clearance volume should not be ignored.Second，the formulas for solving the volume of different structure of helical gear are derived，and the corresponding three-dimensional models using Solidworks software are established in order to verify the accuracy of the formulas.Finally，the design parameters of helical gears，helical gears design＆transmission requirements，total minimum volume of all gears and parameters from the diagram are respectively taken as the optimization variables，the constraint conditions，the optimization target and formulation，and the optimization is carried out by the genetic algorithm toolbox in MATLAB software.The results of optimization are dealt with standardization and roundness.A single-stage helical gear system in the“mechanical design”is treated as an example，the optimization design is carried out.The result shows the volume of the optimized gear is decreased by 18.23%.

Key words:helical gears; volume; optimization design

作者简介:*王成(1977-)，男，山东莱州人，博士，主要研究方向为机械传动、机械系统动力学，Email: me_wangc@ ujn.edu.cn。

基金项目:国家自然科学基金资助项目(51475210) ;山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目(BS2011ZZ002) ;中国博士后科学基金资助项目(2014M550577) ;北京市博士后工作经费资助项目(2014ZZ-27)

收稿日期:2014-12-01

文章编号:1007-791X(2015) 01-0016-06

DOI:10.3969/j.issn.1007-791X.2015.01.003

文献标识码:A

中图分类号:TH132