线性代数教学体系的改革与实践探索

于丽

【摘 要】《线性代数》是培养学生用数学思想方法解决实际问题的能力的一门重要课程。本文从两个方面对教学内容改革进行研究。首先，分析了傳统的线性代数课程教学中存在的问题;其次，分析了各章节之间的逻辑关系，从本质上明确本课程的教学主线，重新编排了教学内容，成功解决了矩阵求逆的初等变换法的位置滞后问题，同时对向量组的线性相关性教学内容的改革进行了探索，该工作合理减少了理论描述，降解了教学难点，较好地适应了现代教学环境。

【关键词】线性代数 教学体系

【中图分类号】O151.2               【文献标识码】A               【文章编号】2095-3089（2015）17-0107-01

线性代数是培养学生用数学的思想、方法解决问题的能力、素质的一门重要课程。随着国家高等教育教学改革的不断深入和科学技术的迅猛发展，课程教学内容、教学手段和教学方法不断更新，也对线性代数课程教学提出了更高的要求;改变传统的教学模式，积极开展教学模式的改革研究，建立以培养学生知识的综合分析和创新应用为目标的线性代数教学体系和教学模式，已成为值得思考的重要问题

1.传统《线性代数》教材内容结构与存在的问题

1.1大部分国内教材内容顺序为行列式、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型、向量空间与线性变换。这种模式的教材中对行列式、矩阵的基本运算都要花很长教学学时和力气进行细致的讲授。准备阶段过于漫长，还没有接触到核心问题，很多学生在这个时候对这么课程已经失去兴趣了。

1.2矩阵求逆的初等变换法介绍过于后置，造成该课程教学不流畅，对该课程教学造成一定的影响.如果能将该矩阵求逆法放在逆矩阵一节讲授，能起到内容规整、教学一气呵成的效果。但是由于初等变换没有及时介绍，该方法不得不滞后，形成骨鲠在喉的局面，该问题的破解一直为相关老师教学所期盼。

1.3《线性代数》教学难点扎堆是现行教学的一大难点，一直没能得到完满的解决。学生学习到矩阵的秩和向量组的线性相关性这一部分时感觉概念、定理太多，教材编排凌乱，理论性太强，理论推导太多，难看、难懂，学习起来很吃力。

1.4 k阶子式的引入给学习者一种为理论教学而存在，解题时几乎用不到的感觉，从使用的角度来看，没有必要存在，但没有它理论又无法建立。

1.5《线性代数》教学主线不明确，教学中没有将该课程使用的主要方法——初等变换法重点突出出来。

1.6《线性代数》教学学时一般介于32—40课时之间，由于该课程理论性强，实践性强，教学中教师很难平衡两者：过于注重该课程理论体系的完整性，则导致教学布局不尽合理，授课时言犹未尽，主要解题方法无法及时介绍;过于强调学生的动手能力则无法保证数学原理的传授。现行的教材重理论轻应用，重公式推导轻数值计算，不符合工科数学“以应用为目的，以够用为度”的原则。

2. 线性代数教学内容的重新确立

2.1考察《线性代数》各章内容，它们都涉及到线性方程组，因此在开始的第一章由具体方程组入手，从解线性方程组的过程中抽象出矩阵的概念、初等行变换的方法、说明线性方程组解的情况及其判别准则、引入矩阵方程，向量方程的概念、用线性表示解释方程组的解。初等变换的方法是线性代数中主要的方法，第一章介绍并练熟对学生很有益处。另外很多内容可以依赖方程组的表达形式，所以方程组的内容放在第一章。虽然篇幅较长，但是适当分解了相关性部分的重难点，与方程组的概念衔接自然，易于学生理解。

2.2第二章行列式。从一元二次方程组的解法中引入行列式，进一步说明性质、按行列展开的方法、最终介绍克拉默法则解方程组。因为相关无关、向量组的秩、矩阵的秩、可逆矩阵等内容也可利用行列式来做某些判断，因此，虽然内容上与上一章衔接不多，比较突兀，但是为了下面的内容，只能放在这里。

2.3第三章向量组的线性相关性。因为相关无关的概念在三维空间上有很明显的几何解释，因此从几何上的共面引出三个向量的相关无关概念，再把这个概念推广到n维空间上去。线性表示实质就是研究齐次线性方程组和非齐次线性方程组，因此在教授时尽量联系第一章的内容使得学生可以把内容联系起来。在介绍线性相关、相关性质、向量的线性表示，向量组等价，等价性质后，内容作如下编排：

定理1.向量组初等变换前后等价。

定义1.若向量组中子线性无关向量组与原向量组等价，则称此子向量组为原向量组的最大无关组。

定理2.向量组与它的极大无关组等价。

推论1 等价向量组的两个最大无关组等价。

定理3.如果向量组1可以由向量组2线性表示，且1的数量大于2的数量，则向量组2线性相关。

推论1 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。

定义2 向量组的秩

定理4 向量组线性无关的充要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

定理5 如果向量组1可以由向量组2线性表示，则1的秩小于等于2的秩。

推论1 等价的向量组有相同的秩。

定理6 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

定理7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

定理8 任一矩阵的行秩等于列秩。

定义2 矩阵的秩

事实上，矩阵是由向量组构成，理论也表明矩阵的秩等于行向量组的秩及列向量组的秩。所以，如果能直接从向量组的秩入手介绍矩阵的秩将大大降低学生学习的困难，节约讲授内容，减少讲授课时，另一方面传统的k阶子式的引入给学习者一种为理论教学而存在，解题时几乎用不到的感觉。从使用的角度来看，没有必要存在，但没有它理论又无法建立。这种设置从实用的角度和体系完整的角度都优于传统课程体系，在第三章最后介绍线性方程组解的结构。

2.4 第四章矩阵的运算。从具体的应用问题入手介绍矩阵加法、数乘、乘法等运算。再从解矩阵方程的角度引入逆矩阵的概念以及其两种求法，这里注意可以联系几何形式解释乘法与向量组线性表示的关系。从而利用矩阵把之前的内容做一个串联和总结。

2.5第五章特征值特征向量，特征值特征向量则是研究特殊的齐次线性方程组。

2.6第六章线性变换、坐标变换同样研究线性方程组解的问题。因此，方程组特别是解方程组所使用的初等变换法应该成为本课程教学的主体和主线，它们贯穿整个教学始终。

3.实践体会

在我院2012级重点班的线性代数教学中我使用了改革后的教学体系，在整个课程中分成12个大的知识板块。在实践中我感到，改革后的体系更加贴近实际应用的思路，在每个版块开始我都会找一些具有特点的应用引例，使学生能够看到线性代数这门课程究竟解决的是什么问题，以及如何解决的。比较传统的教学体系更灵活更实用。