“表面涂色的正方体”数学内涵探讨

金震宇

一、前    言

“表面涂色的正方体”是小学数学教学中受广泛关注的内容. 有些版本教材在小学三年级就涉及该内容，也有到初中一年级才出现.

我国小学版数学杂志已有较多文章或教案讨论该课题，这些都是老师们辛勤工作的教学经验总结，十分可贵. 我是小学六年级学生，本学期苏教版采用了“表面涂色的正方体”内容，该内容对我很有吸引力，它使我加深了立体空间概念，启发我从空间图形中去寻找规律，并且尝试用数学思维寻求规律，这是从实际上升到理论，从个别提高到一般的极好教学典范章节.

“表面涂色的正方体”又好像一个“数学魔方”， 使我从中得到乐趣和启发，我们能在玩转这个“数学魔方”中，深入探讨其内涵，会在游戏中增长知识和创新能力，以及理论联系实际的能力.

二、从实际空间图形中去寻找数学表示

教材中要求我们要回答下列几个问题：把一个表面涂色的大正方体，将其2份、3份、4份、5份……n份切开，分别能切成多少个同样大小的正方体？其中3面涂色、2面涂色、1面涂色、无色各有多少个？它们分别处在大的正方体的什么位置？小正方体个数随n的变化数学表示是什么？

首先让我们从大的正方体每条棱平均分成2份、3份、4份寻找规律，请参见图1.

图1   大的正方体每条棱平均分成2份、3份、4份涂色，小正方体分布，其中红色为3面涂色小正方体，黄色为2面涂色小正方体，蓝色为1面涂色小正方体，无色处于大的正方体剥除所有被涂色的小正方体外表层中间.

大正方体中切成小正方体的总个数，以及3面涂色、2面涂色、1面涂色、无色小正方体的总个数如表1所示，其位置已在图1标出.

表1所有数值和表示是怎样求得的呢？我是这样分析的：

1. 求大正方体中切成小正方体的总个数，只要把小正方体视为度量单位，就类似求正方体体积一样，求得n3.

2. 3面涂色切成小正方体的总个数无论是大的正方体每条棱平均分成2  份、3份、4份，…，n份，它们只出现在大正方体的8个顶点处，所以与大的正方体每条棱平均分分法无关，都为8个. 在图1中它们都以红色涂面表示.

3. 求2面涂色切成小正方体的总个数略麻烦些，它们从大正方体每条棱平均分成3份，及以上才出现，而且它们都出现于大正方体的中间层，本文图2中表示大的正方体每条棱平均分成3份，在其上、下、左、右面切出的中间层展示图，该截面清晰显示有4个2面涂色切成小正方体它们分别位于截层的4角上. 用同样分析方法，我们还可以在大的正方体每条棱平均分成3份的前、后、左、右横切截面各自找到4个2面涂色切成的小正方体，以及大的正方体每条棱平均分成3份的前、后、上、下竖切截面各自找到4个2面涂色切成的小正方体. 所以大的正方体每条棱平均分成3份的大的正方体共有4 × 3 = 12（个）2面涂色切成小正方体.

若大正方体每条棱平均分成4份，从图1可见，仅是又增加了图2中三个中间层，即又增加了12个，即12 × 2 = 24（个）.

容易推论，若大正方体每条棱平均分成n份，2面涂色小正方体的总个数可写为：12（n - 2）的一次方关系，括号中减2是来源于2面涂色小正方体层数总比每条棱平均份数少2.

4. 求1面涂色切成小正方体的总个数很简单，从图1可见（蓝色小方块），它们都位于大正方体6个面的中间，大的正方体每条棱平均分成3份时，每个面仅1个1面涂色切成小正方体，故总数为6个.

但是大的正方体每条棱平均分成4份时，因为小正方体一边份数比每条棱平均分成4份数少2个，所以一个面小正方体的个数为（4 - 2）2 = 4个，是2次方增加. 大正方体因为有6个面，所以大的正方体每条棱平均分成4份小正方体的总个数为：6（4 - 2）2 个.

容易推论，若大正方体每条棱平均分成n份，1面涂色小正方体的总个数可写为：6（n - 2）2的2次方关系.

5. 无色小正方体全部位于大正方体中心部，如移走大正方体最外层所有涂色小正方体，无色小正方体总数形成正方体出现. 大的正方体每条棱平均分成3份时，与上文讨论一样原因，无色小正方体仅（3 - 2 =） 1个，如大的正方体每条棱平均分成4份时，无色小正方体增为（4 - 2）3 = 8（个）. 大的正方体每条棱平均分成5份时，无色小正方体增为（5 - 2）3 = 27（个）. 它们和体积增加类似，是3次方增加.

容易推论：若大正方体每条棱平均分成n份，无色小正方体的总个数可写为： （n - 2）3的3次方关系.

三、玩转这个“数学魔方”，深入探讨其内涵

1. 我发现在大正方体表面拿走一块小正方体，因小正方体所处环境不同，引起大正方体表面积总面积逐级以2个小正方面面积减少规律：

拿走一块一面涂色小正方体，大正方体表面积增加4个小正方面面积;

拿走一块两面涂色小正方体，大正方体表面积增加2个小正方面面积;

拿走一块三面涂色小正方体，大正方体表面积不变;

拿走一块暴露出四面小正方体，大正方体表面积减少2个小正方面面积;

拿走一块暴露出五面小正方体，大正方体表面积减少4个小正方面面积;

拿走一块暴露出六面小正方体，大正方体表面积减少6个小正方面面积。

总之如上随小正方体暴露面增加，它拿走后大正方体表面积总面积逐级以2个小正方面面积减少的规律相应逐减.

其对应关系：

拿走一块小正方体  1面  2面  3面  4面  5面  6面

增加小正方面面积                             4个  2个  0个

减少小正方面面积                            2个  4个  6个

该规律不限于表面涂色的正方体，对于讨论整齐堆积若干小长方体或正方体形成的总表面积都适用.

如上规律有实际应用价值，可指导人们怎样堆积或取走有污染的小正方体.

2. 如图3，长方体涂色切成小正方体有何变化规律？留给读者思考.

3. 小学低年级同学想一想下面几个问题：

（1）如上文所述，随小正方体暴露面增加，它拿走后大正方体表面积总面积逐级以2个小正方面面积减少的规律相应逐减，用正、负数表示这种逐步变化.

（2）n ≥ 3的“数学魔方”一个面有几个对称轴？

（3）n ≥ 3的“数学魔方” 1面涂色切成小正方体的总个数占涂色小正方体的总个数6n2的几分之几？

（4）产生随小正方体暴露面增加，它拿走后大正方体表面积总面积逐级以2个小正方面面积减少的规律相应逐减的几何原因是什么？

4. 初一同学能以更高数学方法表述该“数学魔方”，很值得期待.

5. 高一老大哥玩转这个“数学魔方”有用武之地吗？应该有！

【参考文献】

[1]朱耀峰.“表面涂色的正方体”教学设计与思考.教育研究与评论：小学教育教学，2014（6）：62-63.

[2]数学.六年级上册.江苏教育出版社，2014（6）：26-27.