冰雹猜想的证明及其一般形式的推导
2015-05-30任泽红
任泽红
一、冰雹猜想的证明
冰雹猜想又叫角谷猜想：任取一自然数，是偶数，就除以2;是奇数，就3倍加1然后除以2，最终结果是1.
证明：设自然数f
当f是偶数：f2n = 1则f=2n ①
f1则f1≥ 3的奇数②
当f是奇数：3f+12n= 1则3f+1=2n ③
f2则3f+1≥ 3的奇数④
①③是我们要的结果.②④则要继续3倍加1，再除2
②3f1+12n =1则3f1+1=2n
f3则f3≥ 3的奇数
④3f2+12n=1则3f2+1=2n
f4则f4≥ 3的奇数
3f3+12n= 1则3f3+1=2n
f5则f5≥ 3的奇数
3f4+12n=1则3f4+1=2n
f6则f6≥ 3的奇数 ……
如果用同余式将自然数分类，分成多少类，取决于模数，模4则分4类……
在此，用模6将数分为6类，模6余0，1，2，3，4，5，六类余数将自然数分6类，余0，2，4三类是偶数，是2的倍数，余0类是6的倍数也是3的倍数，可记为6x，余2，4类，可记为6x+2，6x+4.余1，3，5是奇数，余3是3 的奇数倍，可记为6x+3，余1，5类记为6x+1，6x+5.
当f或f1，f2，……是大于1的奇数，即可能是6x+1、6x+3、6x+5中的一类，3倍加1：
6x+1
6x+3
6x+5×3=3×（6x+1）
3×（6x+3）
3×（6x+5）=18x+3
18x+6+3
18 x+12+3=6（ ）+3，
6（ ）+3+1=6（ ）+4，
所以，任何一个奇数3倍加1，都会得到一个模6余4的偶数.
再看2n ：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29 =512 ………
模6：21余2，22余4，23余2，24余4，25余2，26余4，27余2，28余2 ………
2的奇次方模6余2，2的偶次方模6余4
证明：21=2 ，22=6-2，当2n 中n为偶数时：2n = 22×22×22×…×22=（6-2）×（6-2）×（6-2）×…×（6-2）=（36-24+4）×（36-24+4）×…× （6-2）
（36-24+4） =（3×6-2）×（3×6-2）×…×（6-2）
（3×6-2）=6（ ）-2
6（ ）-2
6（ ）-2是模6余4的数.
当2n 的n为奇数时，2n =22×22×22 ×…×21 =[6（ ）-2]×2=6（ ）-4 =6（ ）+2.
所以2n的n为奇数时，2n≡2（mod 6）;n为偶数时，2n≡4（mod 6）.
但是，模6余4的数，2n 只是其中一小部分，所以，当一个奇数3倍加1，得到一个模6余4的偶数时，如果这个偶数不等于2n，将会除以2n 得到一个奇数，断续3倍加1，再除2……
在运算中，f2n≠f，3f+12n≠ f（除非f=1）所以，每次运算结果不等于原来的数值，所以，f≥3的奇数时，不存在循环数.
因此，奇数3倍加1最终会等于2n （准确的说是2的偶次方），除以2n 最终结果是1.
所以，冰雹猜想是正确的.
二、冰雹猜想的一般形式3f+b的推导
冰雹猜想是3f+1，是3f+b中的一个特例，对于3f+b，请看：
如果是3f+b，因为，3f是奇数 所以，b要是奇数，3f+b才会是偶数.
用模3将奇数分类，分为模3余1，2，0三类，记为：3x+1，3x+2，3x
当b=3x+1时，因为b是奇数，所以，3x是偶数，而且3x模6余0，而3f≡3（mod 6） 所以，3f+b=3f+3x+1是模6余4的偶数.所以，
3f+3x+12n最终等于1.
如b=7，3f+b=3f+7=3f+6+1 是模6余4 的偶数.所以，3f+7最终等于2的偶次方，3f+72n最终结果是1.
当b =3x+2时，因为b是奇数，所以3x是奇数，则3x≡3（mod 6）而3f≡3（mod 6），所以3f+b=3f+3x+2是模6余2的偶数.所以，3f+b=3f+3x+22n 最终结果是1.如b=5，3f+b=3f+5= 3f+3+2模6余2.因为2的奇次方是模6余2类，所以3f+5最终等于2的奇次方，3f+52n =1.
当b=3x时，因为b是奇数，所以3x是模6余3的奇数，而3f≡3（mod 6）.
3f+b=3f+3x是模6余0的数.因为2n不在此类.
所以3f+3x2n ≠1 所b=3f+3x将永远进行3倍加3运算.
如b=9，3f+b=3f+9=3f+6+3是模6余0的数.
3f+9≠2n，3f+92n≠1
所以，3f+b的形式，b的取值是模3余1的数时，3f+b最终等于2的偶次方，3f+b2n 最终等于1;b取值是模3余2的数时，3f+b最终等于2的奇次方，3f+b2n最终等于1;b取值是模3余0的数时，3f+b永不等于2n ，3f+b2n永不等于1.
