概率题错解分类剖析

池旭

概率问题题型较多，解法灵活，不少同学在解题过程中因概念不清、忽视条件、考虑不周等原因导致思维混乱，最终导致解题失误.本文就概率问题中的常见错误进行成因诊断，下面进行分类举例说明：

类型一：“非等可能”与“等可能”的混淆

例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率.

错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111.

剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有（1，1），而点数之和为6有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种.事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536.

类型二：“互斥”与“对立”的混淆

例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A.对立事件 B.不可能事件

C.互斥但不对立事件D.以上均不对

错误答案 A

剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立;

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件;

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.

事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C.

类型三：“互斥”与“独立”的混淆

例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B.

∴P（A+B）=P（A）+P（B）=C23×0.82×0.2+C23×0.72×0.3=0.825.

分析 本题错解的原因是把相互独立的事件当成互斥事件来考虑.将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.而题目的实际含义是在“甲恰好投中两次”的同时“乙恰好投中两次”，即两人都恰好投中两次为事件A·B.

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，则P（A·B）=P（A）·P（B）=C23×0.82×0.2×C23×0.72×0.3=0.169344.

类型四：“条件概率P（B/A）”与“积事件的概率P（A·B）” 的混淆

例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率.

错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以PC= PB/A=69=23.

剖析 本题错误在于PA·B与PB/A的含义没有弄清，PA·B表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率;而PB/A表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率.

正确答案 P（C）= PA·B= PAPB/A=410×69=415.

类型五：“有序”与“无序”的混淆

例5 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.

错解 因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种以法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故任意取出4件含有10×9×8×7个基本事件.

设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有C13×C37种取法

P（A）=C13×C3710×9×8×7=148.

剖析 计算任意取出4件所含基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序;而计算事件A所包含的基本事件个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序.

正确解法一 （都用排列方法）

任意取出4件含有A410个基本事件，A包含A14·A13·A37个基本事件，

∴P（A）=A14·A13·A37A410=12.

正确解法二 （都用组合方法）

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S含有C410个基本事件，A包含有C13·C37个基本事件.

∴P（A）=C13·C37C410=12.

类型六：“等可能”与“N次独立重复实验恰有K次发生” 的混淆

本文总结了学生易犯的几类错误，我们在教学的过程中，只要注意对这些错误作详细的分析，可减少在这些方面出现的错误.