y=ex和y=lnx相关不等式证明中的几种特殊放缩法

张乐

导数作为研究函数图像和性质的工具，在每年高考中都占有极重要的分量.而且在近几年的各地高考试卷中.对y=ex和y=lnx两类函数的考察是常考常新，变化多样.其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.本文通过分析几种特殊的放缩方法及其在解题中的应用，以便师生在备考复习中能突破重点和难点.

一、几个典型的放缩公式

公式1：x∈R，有ex≥1+x

公式2：x∈R，有ex≥ex

公式3：x∈R+，有lnx≤x-1

公式3：x∈R+，有lnx≤1ex

用导数或图像所示易得上述公式一定成立.在解决y=ex和y=lnx相关的不等式问题中，巧用上述几个放缩公式，可以快速的突破不等式证明的难点.

二、典型例题分析

1.（2014全国课标I.理21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b; （Ⅱ）证明：f（x）>1.

解法一（常规解法）：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（f（x）=exlnx+2ex-1x，从而f（x）>1等价于xlnx>xe-x-2e.

设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，

所以当x∈0，1e时，g′（x）<0，当x∈1e，+∞时，g′（x）>0，

故g（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，

从而g（x）在（0，+∞）的最小值为g1e=-1e.

设函数h（x）=xe-x-2e，则h′（x）=e-x1-x，所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h（x）g（x）在（0，+∞）的最小值为（h（1）=-1e.

综上：当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.

解法二（用公式2放缩）：f（x）=exlnx+2ex-1x，从而f（x）>1等价于exlnx+2ex-1x>1.

即exlnx+2exex>1; 由公式2 有ex≥ex.

所以exlnx+2exex≥exlnx+2，

所以要使exlnx+2exex≥exlnx+2>1成立，只需证exlnx+2>1，即exlnx+1>0成立.

设h（x）=exlnx+1，有h′（x）=e（lnx+1）

所以当x∈0，1e时，h′（x）<0，当x∈1e，+∞时，h′（x）>0，

故h（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，

所以h（x）max=h（1e）=0.所以有exlnx+2exex>1成立.

2.（2013课标全国Ⅱ，理21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

证明：（2）m≤2，要证f（x）>0，即f（x）=ex-ln（x+m）>ex-ln（x+2）>0，

即要证ex>ln（x+2），

由公式1有ex≥x+1，又由公式3有x+1≥ln（x+2），

所以ex≥ln（x+2），所以ex-ln（x+2）≥0，

所以可证f（x）>0.

试一试：已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax .

（Ⅰ）求f（x）的最小值;（Ⅱ）求g（x）的单调区间;

（Ⅲ）当a=1时，对于在（0，1）中的任一个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）>m2g（x）成立？如果存在，求出符合条件的一个x0;否则请说明理由.