分段函数在分段点可导性的判别法

汪爱红

【摘要】本文主要介绍了对满足一定条件的分段函数，先求出函数在分段点左、右两侧的导函数，再通过导函数在分段点的左、右极限来判断分段函数在分段点处的可导性的方法，并通过具体的实例说明了此方法的简单性.

【关键词】分段函数;连续;可导性

在微分学中，分段函数是一类非初等函数，它在定义域的不同段上有不同的对应法则的函数，在一元函数微分学的学习中，学生往往会在分段函数在分界点处可导性讨论时出错，尤其是在分段函数在分界点处不可导，但在分界点处左导数、右导数存在性的讨论问题中更容易出错.通过多年的教学，总结以下的简单判别法，这种方法可以简化计算过程，学生比较容易接受.

一、判别方法

1.若f（x）在x0不连续，则f（x）在x0不可导.（连续是可导的必要条件）但在这种情况下经常会讨论f′ -（x0），f′ +（x0）的存在性，常常出现下面的情况：

若f（x）在x0不连续，且f′（x）=h（x）x

g（x）x>x0，则

（1）当f（x0-0）=f（x0），且limx→xx-0h（x）存在，则f′ -（x0）存在，f′ +（x0）不存在;

（2）当f（x0+0）=f（x0），且limx→x0+g（x）存在，则f′ +（x0）存在，f′ -（x0）不存在;

（3）当f（x）在既非左连续又非右连续，则f′ +（x0）与f′ -（x0）都不存在.

2.若f（x）在x0连续，且f′（x）=h（x）x

g（x）x>x0，

（1）当limx→x-0h（x），limx→x0+g（x）都存在，

a.limx→xx-0h（x）=limx→x0+g（x），则f（x）在x0可导，且f′（x）=limx→xx-0h（x）.

b.limx→xx-0h（x）≠limx→x0+g（x），则f（x）在x0不可导

（2）当limx→xx-0h（x），limx→x0+g（x）中至少有一个不存在，用导数定义来判断.

二、应用举例

例1 设f（x）=12x2 x≤1

xx>1，则f（x）在点x=1处（ ）.

A.左，右导数都存在

B.左导数存在，右导数不存在

C.左导数不存在，右导数存在

D.左，右导数都不存在

解 显然f（x）在x=1处左连续，且limx→1-f′（x）=12，故f′ -（1）=0，而f′ +（1）不存在，应选B.

例2 设f（x）=1+x2 x<1

2xx≥1，求f′（1）.

解 显然函数f（x）在x=1处连续，f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2，f′（1+0）=limx→0+f′（x）=2x=2=f′（1-0），则f（x）在x0可导，且f′（1）=2.

例3 设f（x）=1+x2x<1

3x-1x≥1，求f′（1）.

解 显然函数f（x）在x=1处连续，

f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2，

f′（1+0）=limx→0+f′（x）=3≠f′（1-0），则f′（1）不存在，即f（x）在x0不可导.

例4 设f（x）=sin2x x≤0

x+x2cos1xx>0，求f′（0）.

解 显然函数f（x）在x=0处连续，且limx→0-f′（x）=limx→0-2cos2x=1，limx→0+f′（x）=limx→0+（1+2xcos1x+sin1x），故limx→0+f′（x）不存在，

则f′（0+0）=limx→0+x+x2cos1xx=1，

又f′（0-0）=limx→0-f′（x）=1=f′（0+0），

则f′（0）存在，且f′（0）=1.

注：应用以上方法讨论分段函数的可导性时，一定要判别函数在分界点处的连续性，否则容易出错.

【参考文献】

（1）赵华文.可导性判定的新定理.济源职业技术学院学，2014，13（3）.

（2）许燕，张永明.判断分段函数在分段点处可导性的简便方法，2012，20（6）.