跨越百年的障碍

方静

【摘要】本文以教育心理学为指导，在充分研究初中函数概念与高中函数概念的基础上，给出高中函数教学的具体实施建议，从而实现初中函数概念与高中函数概念的自然衔接.

【关键词】函数映射说;建构;固着点;认知障碍;思维定势;顺应

函数是高中数学的重点和难点，函数思想贯穿着整个高中数学.因此对于函数概念的教学研究从未停止过.已有的研究主要包括以数学史指导函数教学和以建构主义理论指导函数教学.但是以往研究对于如何做好初中和高中两个函数定义的衔接目前还没有相关研究，也没有可操作的教学建议.本文针对如何处理初中和高中两个函数定义在思维上的衔接问题，结合教育心理学理论和数学史知识给出了关于高中函数定义教学的具体的可操作的建议和措施.

1.初高中函数概念的区别与联系

初中函数以一次函数，反比例函数，二次函数为主要内容，性质较少且比较简单，单调性形象化仅仅用增大、减小来反映，与其他知识联系相对简单;而高中函数首先概念理解的难度增大，要深刻研究二次函数，还要学习指数、对数、幂函数教学内容多，知识信息广泛，形式化程度较高，与函数相关的内容关联程度高了许多，对数学语言的运用要求更高.初中函数概念没有突出“函数”应当指对应法则本身，而高中函数定义正抓住了这个关键点.在概念教学中，由具体到抽象，尤其多出抽象的“对应法则”这个概念.初中函数仅仅是一个基础，而高中函数则更加丰富多彩，它将通过单调性、奇偶性、周期性、对称性等众多独特的性质出现在我们面前.

2.高中教材没有涉及与初中函数概念衔接的内容

高中教材编写者也在高中教材的第一节引言中提到：“在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，从本节开始，我们将进一步学习有关函数的知识”.虽然提到了初中学过，可是并没有真正将初中内容与高中内容衔接起来，学生只是被提醒学过，可是跟现在学习的有什么不同，有什么联系，都没有涉及到.

学生在初中阶段已经学习了函数概念的变量说，即：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.并且在此基础上有学习了一次函数，二次函数及反比例函数.至此，函数的变量说定义已经在学生大脑中形成了深刻印象.那么当学生在高中再次学习函数定义时就会产生疑问，初中已经学习过函数的定义了，高中为何又要重新定义呢？两个定义是什么关系谁服从谁呢？在这样的疑惑中学生很难顺利接受新知.

高中教材以三个例子归纳出函数映射说的定义后便直接进入求定义域和值域的例题，没有分析两个概念的联系和区别.笔者以为函数定义映射说的固着点正是新旧概念的区别和联系，如果此处没有深刻具体的对比分析将难以打破旧概念的定势作用，从而不能实现旧概念对新概念的顺应.

3.实现初高中函数概念的衔接的教学建议

高中数学人教A版必修1的1.2.1节内容是函数定义.教材的编写结构是由三个例子归纳出函数定义，而后给出两个例题强化定义域和值域的概念，至此结束本节内容.笔者以为教材对初中函数的定义的衔接处理太少，不利于学生的新知识的建构，故而给出实施教学时的具体建议.

奥苏贝尔曾经说过：“如果让我用一句话概括教育心理学的内容，我将说就是在学生已有知识的基础上进行教学.”数学教育家波利亚有句名言：“教师要教的知识是非常重要的，而学生已经知道的知识是更加百倍的重要.”因为学生已经具备的知识是学生构建新知的固着点.而数学知识的逻辑性强，充分了解学生已有的知识结构并在此基础上进行教学就显得更加重要.

鉴于对教材和学生已有知识的认识，教师在处理教学时应从以下几点入手.

（1）以问题引入

教师给出狄里克雷函数，让学生观察讨论该函数的特点，并且提问这是否是函数，能否用初中的函数概念来描述它.由此发现函数变量说的局限性，从而引出重新定义函数的必要性.这种处理方法是符合函数概念发展历史的.历史上函数定义映射说的产生正是由于数学家狄里克雷给出的狄里克雷函数，迫使函数定义的变量说需要再一次被升华抽象.学生学习数学知识是对前人知识的再认识再发现，这样才能顺利而正确的掌握知识.因为学生在学习函数概念时遇到的困难和问题与函数发展史上出现的问题是一致的.函数的定义从变量说抽象到映射说经历了近一百年的时间，可见两者在思维上跨越之大，而这种思维的跨越正是今天我们的学生所面对的认知障碍.正如费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”函数发展过程中的认知障碍也是今天课堂上学生的认知障碍.因此在函数的教学中，需要恰当借鉴历史，选择学生容易接受的典型情境探究函数概念，使学生在情境的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并亲身感悟逐步抽象函数概念的方法，将有助于学生打破思维定势，形成清晰的认识，并深刻理解函数概念.

（2）在概念的形成过程中，让学生回顾初中用变量的关系给出的函数概念并让学生在已有知识经验中找出一个函数原型，如 y=3x，引导学生写出它的定义域、值域.从x和y的取值范围中抽象出两个集合，为新旧概念的过渡搭建桥梁.

（3）在对比中建构

在归纳出函数映射说的定义后，将函数定义的变量说与映射说做对比发现异同，体会函数映射说的进一步的抽象性和先进性.通过对比发现二者的关系，实现新旧概念的衔接，从而打破旧概念的定势作用，为新概念建构找到清晰的固着点.在概念的教学过程中，要让学生充分暴露错误（不全面的）概念，把对事物表面现象观察及思维的结论与数学知识进行对比，反思，找出矛盾所在，经历认知上的冲突和震撼，改变不平衡的认知结构，促成新概念的同化和顺应.如果没有对两个定义进行对比，体会二者的区别和联系的话，那么教师就有将函数映射说强加给学生的嫌疑.“因为所有知识的学习都涉及到原来经验的迁移，迁移量是以学生带到学习情境的原有知识为基础.”正如费赖登塔尔在《数学结构的教学现象学》中告诫我们：“一般来说，人们宁愿教授概念，而不愿教思维对象与思维活动，而这就是我所谓的违反教学理论颠倒的例子.”

（4）数学史知识的介绍

函数概念从萌芽到完善经历了300多年的历史，期间多次更改定义.每次新的定义都是在前一个定义的基础上再抽象再扩张.“由于学习的封闭性，学生很少从课本及习题集以外的途径获取有关函数的知识，所以我国学生对函数关系的前概念知识是贫乏的，难以适应从数学情境中提出数学模式进而用数学符号或图形表征出来的发展历程.”因此介绍函数发展史有利于学生开阔眼界拓展思维，从而对函数有全面深刻的理解.

函数概念是人类300多年思维的结晶，教学中不求一步到位，应该遵循认识的由远及近，由模糊到清晰，由粗略到精细的认知过程.

新一轮课程改革实施已达到10年时间，教学观念的转变必然带来教学方法的转变.在这一轮改革中需要所有教师群策群力，践行新课程理念.路漫漫其修远兮，我辈须上下而求索.

【参考文献】

[1彭林，童纪元.借助函数概念的发展史引入函数概念[J] . 中学数学，2011 （6）.

[2]李红梅，张晓梅.数学概念教学的几个策略 [J] . 教育教学论坛，2014年 （15）.

[3]John D Bransford.人类是如何学习的——大脑、心理、经验及学校[M]. 上海：华东师范大学出版社，2002.

[4]张奠宙 数学教学研究导引[M].南京：江苏教育出版社 ， 1998.

[5]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[D] . 上海：华东师范大学，2007.