数学建模思想融入高数课堂的实践案例研究及分析

王菡

【摘要】在高数的教学过程中，数学建模思想的应用可以大大提高学生对数学的兴趣，增强他们对数学的实际应用能力，本文从数学建模的意义入手，说明数学建模对高数的重要性，并对实践案例进行分析，充分展示数学建模思想的强大作用.

【关键词】数学建模思想性;高数课堂;实践案例研究

数学对学生的逻辑思维能力、语言理解能力、空间想象能力有很高的要求.数学建模思想讲求在解决实际问题的过程中，引入数学知识和方法，通过对实际问题的简化和抽象，建立数学模型并求解.这种解题方式是对数学的一种实际应用，也是对学生思维能力的提高，所以在高等数学中运用数学建模思想对提高学生的综合素质有关键作用.

一、高等数学教学中数学建模思想融入的意义

数学建模其实属于一种应用数学，其主要目的是要求我们通过对实际问题进行分析并简化为一个数学问题，再运用适当的数学方法解决问题.数学建模思想最早提出于1992年，虽然当时这种新颖的逻辑思维能力受到了很多学校的重视，并在组织的数学建模竞赛中选取优秀的学生参加，但这种新的数学解题模式并没有得到大面积的普及，很多学生因为学习任务繁重根本没有时间了解数学建模思想.进入大学的学习后，基本上所有的学生都要学习高数，高数是一门极为抽象的科目，很多学生根本不知道学习的意义，从而对高数丧失学习的动力.若将高数与数学建模思想融合起来，不但可以激发学生的学习兴趣，还能鼓励学生多运用数学知识解决实际问题.

在数学建模过程中，不但可以让学生更加透彻的领悟数学中的知识，还能对学生的综合素质进行提升.建模过程重要反复推敲、计算.最终找出模型的最优解.数学建模其实没有统一的答案，讲求的是方法的运用，针对同一问题，学生可以从不同的角度分析，创建不同的数学模型，选用不同的方法解决问题，选出最优的解决方案.在将数学问题准确的抽象为数学模型时，要求学生具有敏锐的洞察能力，在合作解决问题时，培养学生的协作合作能力，整个过程中，学生们一起探讨、分享数学知识，开阔了彼此的数学思维能力，所以数学建模思想对学生综合素质的提升和思维能力的培养有较大裨益，是一种值得推行的数学思维方式.

二、实际案例分析

提到微积分相信大家都耳熟能详，但很多人却因不了解用途而觉得枯燥不堪.其实微积分在生活中运用广泛，该实例就是运用微积分中的定积分解决问题.

题目：除雪机在清理路面上的积雪时，设定当路面积雪达到0.5 m时开始工作，但由于在清理积雪的同时天空正在下雪，下雪的大小直接影响除雪机的工作效率，对于一条10公里的公路，除雪机能否完成除雪任务，当雪下多大时除雪机将不能工作？

相关条件：

1.降雪持续1个小时.

2.降雪的大小随着时间的变化而变化，当雪下到最大时，积雪以0.1 cm/s的速度增长.

3.当积雪厚度达到1.5 m时，除雪机将停止工作.

4.除雪机在无雪的路面行驶速度为10 m/s.

分析问题：

通过题目和条件所含的信息，影响除雪机除雪的因素主要包括：降雪的速度、降雪的时间、积雪的厚度、除雪机工作时间等.

模拟解题环境：

1.降雪的速度维持不变

2.除雪机的工作速度和积雪的厚度成正比

3.降雪的速度为R（cm/s），积雪厚度为d（m），除雪机工作速度为v（m/s）

创建数学模型：

假设降雪速度维持不变，积雪在时间t内的厚度增加量Δd为 Δd=1100Rt.

由此解得t秒内的积雪厚度为 d（t）=0.5+Rt100.

（1）

（2）通过对问题的假设，当d=0，时，v=10;d=1.5时，v=0，可以建立关系式v（t）=101-23d（t），当0.5≤d（t）≤1.5时，将（1）带入公式得到t秒时除雪机的工作速度为 v（t）1032-Rt30.

（2）

通过以上的公式推断出除雪机工作被迫停止时间v（t）=0，

t0=100R.

（3）

除雪机在工作t时的行驶距离：

S（t）=∫t0vudu=103∫t02-Ru50du=203t-R30t2.

（4）

假设情况1：大雪的降雪速度以0.1 cm/s持续1小时，那么积雪的新增厚度为0.1×3600100=3.6（m），再加上原来的积雪厚度0.5 m，总厚度已经超过1.5 m，所以只能考虑积雪厚度在0.5 m～1.5 m之间的工作时间和除雪距离.通过（3）可以算出t0=100R=1000.1=1000（s）≈16.67，所以除雪机只能工作16.67分就会被迫停止工作，期间的行驶距离由（4）算出

St0=S1000=20×10003-0.1×1000302≈3.3（km）.

假设情况2：大雪的降雪速度以0.025 cm/s持续1小时，降雪的速度变化如右图所示：

在该种情况下，积雪的新增厚度为0.9 m，再加上原来的0.5 m，总厚度不超过1.5 m，除雪机可以正常工作，除雪机清除10公里的道路所需时间，将S=10×1000 m带入式子（4），算出10000=203t-0.02530t2，t=2000（s）≈33.33（min），所以只需要33.33分钟，除雪机就可以完成10公里路面的积雪清理工作.

初次建模，考虑问题比较粗糙，现对所建模型进行优化.首先降雪速度不可能一直维持不变，为了让模型与事实更加贴合，可以设置下雪速度在前半个小时均匀增大到最大值0.1 cm/s，在后半个小时逐渐减小到0.则在t时刻降雪的速度r（t）为： r（t）=0.1 t1800 0≤t≤1800

a-0.11800≤1≤3600

运用t=1800处r（t）的连续性，可算出参数a的值为0.2.

积雪厚度函数：

当0≤t≤1800时d（t）=0.5+1100∫t00.1u1800du=0.5+0.0013600t2.

（6）

计算得到d（1800）=0.50.001×（1800）36002=0.5+0.9=1.4（m），表示除雪机工作半个小时，积雪厚度为1.4 m.当1800≤t≤3600.  d（t）=1.4+1100∫t18000.2-0.1t1800du=0.010.2t-0.43600t2-1.3.

（7）

计算得到d3600=0.010.2×3600-0.1×（3600）23600-1.3=2.3 m，表示除雪机停止工作时，雪还在下，工作时间可由（7），d（t）=1.5 m，t≈35（min）.

当然，在对模型的完善过程中，讲求层层深入，逐步细化，最终建立与实际问题最贴近的数学模型，使解出的答案更加贴近，这就是数学建模思想在高数中的应用实例.

三、总 结

总而言之，数学建模思想就是用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验.在模型的建立过程中，不但可以重新点燃学生对数学的兴趣，还可以训练逻辑思维能力，将高数与数学建模思想完美的融合，解决现实生活中的各种问题，拉近数学与生活的距离，提高高数的教学质量.

【参考文献】

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[3]韦程东，高扬，陈志强等.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].数学的实践与认识，2008，38（20）：228-233.