微积分实验教学模式研究

程村

【摘要】针对高等院校经济、管理等专业的微积分课程，设计了实验教学方法.每个实验案例都是从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个问题.一共设计了2个教学案例，每个教学案例基本上包括了“问题提出-建立数学模型-分析研讨-计算机处理-思考”的过程.

【关键词】实验教学;案例教学;微积分

一、引 言

掌握简单的数据处理方法，学会使用数学软件解决数学问题;提高应用数学知识分析问题、解决问题的能力，掌握基本的数学建模方法和技巧，为将来的进一步的学习与工作打下一定的数学基础.同时在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术分析、解决一些经过简化的实际问题，培养学生的数学兴趣，从而进一步提高学生“用计算机做数学”的能力.

二、教学案例

案例一：蚊子和壁虎.适用教学内容：导数概念.可参考同济大学《微积分（第六版）》【1】第二章第一节.

一、问题提出

图 1如图1所示，一只壁虎从A点沿着墙面上的障碍物曲线y=9-x2出发慢慢地爬至B点后再爬往C点，而一只蚊子则在墙壁上点（5，0）处待着不动.问：

（1）“当壁虎爬到一定位置发现蚊子”在几何上表示什么？

（2）利用Matlab作图估计壁虎发现蚊子时壁虎所在的位置.

（3）计算出此时壁虎的真实位置并与（2）的结果作比较，考察结论是否一致.

（4）求此时壁虎与蚊子之间的距离.

二、涉及知识点

函数求导，曲线的切线方程，平面上两点间的距离

三、所使用的软件和关键语句

软件：Matlab 6.0

关键语句：plot（x，y），syms，eqn=′y-（9-a^2）+2*a*（x-a）′，

neweqn=subs（eqn，{x，y}，{5，0}），solve（neweqn，a），

d=norm（BH-WZ，2）

四、实现的过程和结果

图 21.提示：本题主要要求学生正确理解“当壁虎爬到一定位置发现蚊子”这一概念，其本质就是求过（5，0）这点的原曲线的切线（图2）.

2.实验过程

第一步，准备工作

>>x=-6：0.001：6;%设置x的变化范围

>>y=9-x.*x;%壁虎的运动曲线方程

>>axis（[-6 6 0 10]）%设置图像显示范围，x的范围为[-6，6]，y的范围为[0，10]，出现图像文件Figure No.1

>>hold on;%在以上范围内继续画图

>>plot（x，y）;%画出壁虎的运动轨迹

>>text（-2.5，8，′y=9-x^2′）;%在图中适当位置加入文本信息，此处是加入曲线方程表达式得到图3所示结果.

图 3 第二步，在Figure No.1文件中的菜单栏找到Tools点击其中的Edit Plot，然后用工具栏中的直线工具作出过（5，0）点的原曲线的切线，并找到切点不妨记为P，为了估计出P点的位置，作一条过P的垂线确定P的横坐标约为1.08.

第三步，计算壁虎的真实位置.我们用理论

直接分析计算为：设切点坐标为（a， 9-a2），且切线在此点处的斜率为-2a，则切线方程应为y-（9-a2）=-2a（x-a），此切线方程过点（5，0），从而有0-9+a2=-2a（5-a），解得a=1或 a=9（不合题意舍弃）.这样可得壁虎的真实位置为（1，8），它的横坐标1与（2）中的估计值1.08接近.当然这一过程也可根据以上理论分析利用Matlab的符号计算功能实现如下：

>>syms x y a%设置x，y，a为符号对象

>>eqn=′y-（9-a^2）+2*a*（x-a）′%切线方程

运行结果：eqn=y-（9-a^2）+2*a*（x-a）

>> neweqn=subs（eqn，{x，y}，{5，0}）%切线方程过点（5，0）

运行结果：neweqn=-9+a^2+2*a*（5-a）

>>solve（neweqn，a）%解方程求出横坐标a

运行结果：ans=[1]

[9]

此即上面分析得到的a=1或 a=9（妨上将后者舍弃）.

>>subs（′9-x^2′，1）%求出壁虎所在位置的纵坐标

运行结果：ans=8从而得到壁虎的真实位置为（1，8）.

第四步，求壁虎与蚊子间的距离，用两点间距离公式求解，手算或Matlab均可.

手算为：d=（1-5）2+（8-0）2=80=45

Matlab数值计算为：

>>BH=[1，8];%壁虎的位置

>>WZ=[5，0];%蚊子的位置

>>d=norm（BH-WZ，2）%壁虎与蚊子间的距离

运行结果：d=8.9443与手算结果一致.

3.正确答案

（1）“当壁虎爬到一定位置发现蚊子”在几何上表示曲线过点（5，0）且在ABC弧上的切线.

（2）利用Matlab作图估计壁虎发现蚊子时壁虎所在位置的横坐标约为1.08.

（3）壁虎的真实位置是（1，8）.

（4）此时壁虎与蚊子之间的距离为45（≈8.9443）.

五、问题延伸

1.给出壁虎的爬行速度及捕食速度，考察蚊子被捕食的时间.注意壁虎未发现蚊子时走曲线路径（相当于要求计算曲线弧长），发现蚊子后捕食时走最短直线路径.

2.进一步推广到三维空间，就设想壁虎在二维曲面上运动，蚊子在xOy平面上不动，捕食过程同上，其中知识点将涉及求曲面的切平面，空间两点间距离等.

案例二：草地面积的计算.适用教学内容：定积分在几何学上的应用，可参考同济大学《微积分（第六版）》第六章第二节.

一、问题提出

图 4有一头牛，被拴在一个半径为r的圆形围栏外﹙如图4所示﹚.绳子的一端被固定在围栏的A点，而牛能够绕围栏走到A点的对面B点.围栏的外部都是草地，请问牛至多能吃到多大一块面积的草？【2】

二、问题应用背景

通过研究草量与畜牧量之间的关系，建立牧场可持续发展方案.

三、涉及知识点

利用定积分求平面图形的面积（直角坐标情形）.

四、解题思路

本题是求曲线所围图形的面积问题，学生需要通过分析找到曲线所围的图形，利用定积分来计算面积.在解题过程中，先要利用初等平面解析几何的知识推导圆的渐伸线的参数方程表示形式，再进行计算.

图 5五、解答过程

第1步，直观分析曲线所围图形.

通过观察，我们发现牛能吃到草的范围是如图5所示的阴影部分.

图 6由题意知绳长为πr，而在A点左边的区域是一个半圆面.至于剩下的区域怎么求得呢？当绳子缠住围栏的时候，如图6所示.牛所达到的最远处为D，其弧AC与线段CD的长度之和为πr﹙绳子的长度﹚，而曲线即所有这种点所形成的轨迹.

第2步，利用初等平面解析几何将D点轨迹描述出来.

取围栏的中心为原点O，令OB与OC的夹角为θ﹙如图﹚，于是C点坐标为（rcosθ，rsinθ），而CD是点C处圆的切线段，于是根据平面解析几何的知识，有OC·CD=0，所以可设CD=k（sinθ，-cosθ），k>0为待定常数.而CD长度等于弧长BC的长度，于是|CD|=rθ，解得k=rθ.

图 7所以D点坐标为：

（rcosθ，rsinθ）+rθ（sinθ，-cosθ）=（r（cosθ+θsinθ），r（sinθ-θcosθ））.

于是得到D点轨迹参数方程为

x=r（cosθ+θsinθ），

y=r（sinθ-θcosθ）.（0≤θ≤π）（*）

这刚好是圆的渐伸线，参见《微积分》（同济六版上册）287页26题

第3步，分块计算所围图形的面积.

我们先计算参数方程（*）下方图形的面积S，如图8中阴影部分所示.

图 8 S=∫0πr（sinθ-θcosθ）d（r（cosθ+θsinθ））

=-∫π0r（sinθ-θcosθ）·rθcosθdθ

=-r2∫π0θsinθcosθdθ-∫π0θ2（cosθ）2dθ

=-r2[12∫π0θsin（2θ）dθ-∫π0θ2（1+cos（2θ）2）dθ]

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-12∫π0θ2dθ-12∫π0θ2cos（2θ）dθ

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-16θ3π0-14∫π0θ2dsin（2θ）

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-16π3-14（θ2sin（2θ）π0-

2∫π0sin（2θ）dθ）

=-r2∫π0θsin（2θ）dθ-16π3

=-r2-12∫π0θd（cos（2θ））-16π3

=-r2-12（θcos（2θ）π0-∫π0cos（2θ）dθ）-16π3

=16π3r2+12π2.

于是，由图形的对称性可得：

牛吃草的范围=上下两块S+左半圆所围图形面积-围栏所围住的面积

=216π3r2+12π2+π（πr）22-πr2

=56π3r2.

3.结 语

数学实验课是在我国大学中普遍开设的一门课程，对于它的具体实施方法，大家还没有形成一个统一的模式，我们应当鼓励各种不同模式进行试点和探索.但能够肯定的有两点：数学实验是实验课，应当以学生自己动手为主，而不是只靠学生听课和看书接受数学知识;还有一点：数学实验是要让学生利用计算机来学习和应用数学知识.数学实验课是微积分教学过程中必不可少的一个实践性环节，开设数学实践课是大学数学教学改革的进一步深入和延续，对于推进高等院校数学课程教学内容和课程体系的改革，培养学生具有解决实际问题的能力和创新精神，均会起到积极的作用.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.《微积分（第六版）》高等教育出版社，2007

[2]James Stewart.Calculus：Concepts and Contexts，2 edition.Brooks/Cole Publishing Company，2000.Page 505.