数学猜想及其在数学教育中的作用

黄名川

【摘要】数学猜想作为一种高级的创造性思维方法对培养学生的创造性思维和创新品质有着重要的作用，是发展学生思维品质的一个良好契机，应该让猜想教学在数学课堂中成为一种常态.

【关键词】数学猜想;定义;分类;课堂教学

匈牙利伟大的数学教育家G·波利亚曾指出：“在数学学习过程中只要能反应出数学的发现过程，那么就应该让合情的推理占有适当的地位.”这里的合情推理就是指数学猜想.数学猜想是根据已知的数学素材，经过理性思维的能动性对当前问题进行的一种合情推理.我国《义务教育数学课程标准》（2011年版）中强调指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”作为一种创造性的思维方式，应该走进数学课堂教学，成为培养学生创新思维品质的一个契机.

一、历史上的数学猜想

法国著名数学家费尔马于1664 年，提出了著名的“费尔马猜想”： 当n>2时， 关于x，y，z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解.该猜想历经300多年最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）得以证明，为了表彰其卓越成就，在1998年的国际数学家大会上为他颁发了特别制作的菲尔兹银质奖章.1742 年，德国数学家哥德巴赫在给当时大名鼎鼎的数学家欧拉的信中提出了一个猜想：对于任一大于2的偶数均可以表示成两个素数之和.由于这个猜想表述形式简洁，看起来似乎没有涉及深邃的数学理论，数百年来，上到数学专家学者，下及学生，甚至与数学无关的其他行业者都跃跃欲试想摘得这个被数学家誉为“数学王冠上的明珠”的数学猜想.我国著名数学家陈景润对此猜想做出了卓越贡献，证明了“1+2”问题，距完全证明该猜想仅剩一步之遥，但至今仍未能彻底解决.此外数学史上还有“四色猜想”、“孪生素数猜想”、“伯特兰猜想”等著名的数学猜想.

二、猜想的分类

根据猜想的实现途径，本文将猜想大致分为4类.

1.观察猜想

观察猜想就是我们通过观察已知数学材料的结构和形式，作出我们猜想的结论，这个过程需要我们认真洞察已知材料的规律和其内在结构，这样作出的推断才具有更高的正确率.

2.归纳猜想

归纳猜想就是通过观察获得了一定的思维材料后，从个别或特殊的经验事实出发推出一般性原理、法则的推理形式、思维进程和思维方法的一种猜想方法.在研究某些整体数学问题较困难，但在特殊情况容易解决时，我们就可以从特殊的情况入手，归纳得出其一般性的结论，然后再论证推广到所有符合条件的情况.

3.类比猜想

类比猜想是根据两个或两类事物在某些属性或结构上的相同或相似，而推出它们在其他属性或结构上也相同或形似的一种猜想方法.它是由特殊到特殊的推理猜想，类比猜想的形式也有很多，如数与式之间，数与形之间，数与向量之间，平面和空间之间等等，都可能形成类比猜想.

4.联想猜想

联想猜想是一种自觉的有目的思维活动，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一种事物，或由此再想象其他事物的一种猜想方式，猜想联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、机能、经验进行想象的思维方法，它是一种再现性现象.

三、数学猜想：数学思维活动的关键一步

我们知道数学猜想是由已知的数学材料和数学知识，对未知量进行观察、比较、分析、类比、归纳、后所做出的一种似真判断.现代心理学认知结构理论认为： 数学学习活动是学习主体主动的有意义的建构活动， 是认知主体在大脑里构建数学概念模型的过程.数学思维活动中如果没有了猜想，已知数学材料就不可能形成有意义的构建活动.因此， 猜想是主体有意义构建时思维活动的关键一步.

四、让数学猜想活动成为数学课堂教学常态

在我国新一轮的课程改革中，对培养和提高学生的创新能力和创新意识提出了明确要求.数学猜想作为一种创造性思维方法，它不专属于数学家，若平时能有意识地加强数学猜想的教学活动，则能使创新能力和创新意识的培养真正落到实处.那么在课堂教学中如何有效的实施猜想教学呢？首先，猜想是一种高级的思维方式，那作为学生的引导者的教师则要具备一定的猜想能力，必须懂数学猜想，知道猜想的规律，才能更好的引导学生猜想.第二，在平时教学中让学生养成数学猜想的思维习惯，如注重知识的发生和发展，理解问题内部的本质联系，利用对称、统一、奇异的数学特征去引导学生欣赏数学美和发现数学问题.这样可使学生的猜想思维活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识有目的的创造活动.第三，努力营造宽松愉快的猜想氛围.老师不必去限制学生思维的疆域，鼓励学生多积极主动思考，不满足现成解答，大胆猜想 ，不断开拓.猜想合理的给予积极鼓励，猜想偏向的给予细心引导，使学生的被动的猜想行为转变成自觉的猜想行为，共同构建师生猜想共同体.切实让培养学生的创造性思维和创新意识落到教学实处.

【参考文献】

[1]G.波利亚.数学与猜想（第一卷）[M].李心灿等译.北京：科学出版社，1984.2、5.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012：6-9.

[3]陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2011：180-195.

[4]刘浩文.数学：让我们合理的猜想[J].数学通报，2001（8）：180-195.