浅谈定积分概念的教学设计

王洋 赵彦军 冯毅夫

【摘要】本文结合教学经验，浅谈定积分概念的教学设计.希望通过对定积分的学习，使学生掌握曲边梯形的面积和变速直线运动的路程等“非均匀分布总量问题”的解决办法（分割、近似、求和、取极限），领会定积分的思想（化整为零、近似代替、积零为整、无限逼近）.

【关键词】定积分的概念;教学设计

引 言

《高等数学》或《微积分》是理工科各专业必修的一门重要的公共基础课.定积分是微积分学中最重要的概念之一.之所以说它重要，不仅是因为它能够解决许多的实际问题，更重要的是，定积分概念的本身，体现了微积分学的基本思想方法——极限思想方法.因此，如何讲好定积分的概念，使学生能够深刻理解其中的思想方法，同时，利用定积分的教学，逐步提高学生解决实际问题的能力，是一个值得研究的课题.本文结合作者多年的教学实践，谈一谈定积分概念的教学设计.

1.问题的提出

概念教学不仅仅是教给学生一定的知识，更重要的是提高学生解决实际问题的能力.恰当巧妙的引课，可以启发学生思考，提高学生的学习兴趣.在定积分的教学中，利用多媒体，由一幅图片给出曲边梯形面积，我这样讲解：“在实际生活中，我们经常会遇到要计算由曲边围成的不规则图形的面积.图中为南方地区的一片水田，现在要计算其中某一块田地的面积.”一边说一边黄色的笔将田地勾勒出来，然后提出问题：“如何计算呢？”

由于图形为不规则曲边形，学生摇头，表示不知道如何解决，这时，引导学生，给出问题的解决办法：

第一步：将实际问题转化为数学问题.将这块地放到平面直角坐标系中，这块地的形状就是我们要研究的曲边梯形.学生自然会提出问题：什么叫做曲边梯形呢？ 由此给出曲边梯形的定义.

第二步：解决数学问题.带领大家回顾我国古代数学家刘徽的割圆术，抽象出深刻的

数学思想，同学们由此受到启发，用类似的方法去计算曲边梯形的面积.将曲边梯形分割成若干个小（窄）的曲边梯形，而每个小曲边梯形近似用矩形去代替，而每个小曲边梯形近似用矩形去代替，从而，曲边梯形的面积近似的等于这n个小矩形的面积之和，即：A≈∑ni=1A矩i

当分割加细，小矩形的个数无限增多，上式和式的极限就是曲边梯形的面积，即： A=lim∑ni=1A矩i

第三步：将解决问题的步骤和方法详述如下：

接着讲变速直线运动的路程.利用同样的方法，分析求解问题的步骤，指出路程是可以分割的，在很短的时间内可以看成匀速运动，可以采取分割时间间隔[T1，T2]的方法.这时学生已经有了“分割、近似、求和、取极限”的思想，自然可以解决这个问题.

2.归纳总结两个例子中的区别和联系，抽象出定积分定义

比较两个引例结果，带领同学总结两个例子中的共性：

（1）问题性质相同，都是解决非均匀分布总量问题.

（2）解决方法相同，都是采用极限的思想方法，先化整为零，再积零为整，用极限将近似转化为精确.

（3）处理步骤相同“分割，近似，求和，取极限”.

（4）所得结论相同，都是求一特定的和式的极限.

在实际生活中，还有很多类似的问题，比如变力做功，旋转体的体积等等都可以化为求一特定的和式的极限，由此抽象出定积分的定义.

3.教学总结

总结本节课的主要内容，重点强调定积分的实质和定积分的思想和方法.加深同学们对定积分的定义的理解.

本节课从生活中的两个实际例子出发，引出了定积分的定义，这不仅能够激发同学们学习定积分的兴趣，还能向学生介绍定积分在生活中的广泛应用，体会到学习定积分的重要意义.真正使学生学到了数学知识，提高了解决实际问题的能力，实现了培养学生综合素质的目标.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系，高等数学（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]陈国立，肖金艳， 浅谈定积分概念的教学设计[J].巢湖学院学报， 2013，15（6）：157-159.