数形结合的好工具

雷昌超 仲秀英

数学是研究数量关系和空间形式的科学.数能精确地揭示研究对象的数量特征，形能直观地刻画研究对象的空间结构，因此数形结合思想被广泛运用于数学的解题过程中，平面直角坐标系建立了数量与图形之间的联系，充分体现着数形结合思想.

“平面直角坐标系”一章主要涉及描点、求点的坐标、由图形顶点的坐标求图形的面积、川方位角和距离刻画两个物体的相对位置等问题.其中，捕点问题主要有两种类型：（I）由点的坐标描点；（2）先建立平面直角坐标系再捕点.求点的坐标的问题则有五种类型：（1）根据文字语言所描述的点的坐标特征，求点的坐标；（2）点的坐标含有参数，根据已知条件求点的坐标或确定点的坐标特征；（3）图形位置变化与点的坐标相结合，求点的坐标；（4）图形的面积与点的坐标相结合，求点的坐标；（5）由图形（如平面直角坐标系、气温图、地理位置图等）求点的坐标.对于这些问题，我们都可以借助以形示数、以数解形、数形结合的思想一一解决.

一、以形示数思想

对于有的问题，我们可以直接根据题中的已知条件得到答案，而对于有的问题（例如描点问题巾的第二类、求点的坐标的问题中的前两类），我们需要先将已知条件中的数或数量关系提炼出来，再将其转化到图形中，通过分析图形解决数的问题，这就是以形示数思想，简而言之，就是用图形揭示数的关系和规律，借助图形解决代数问题.

例1爷爷退休后的生活可丰富啦！他某天的日程安排如下：6：00至7：00，与奶奶一起到和平广场锻炼；9：00至11：00，与奶奶一起上老年大学：16：30至17：30，到和平路小学讲校史.其中和平广场位于爷爷家正东400 m处，老年大学位于爷爷家正西600m处，从爷爷家到和平路小学需要先向南走300 m，再向西走500m.请根据图1，以爷爷家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，以1个单位长度表示100m，建立平面直角坐标系，并标出和平广场、老年大学和和平路小学的位置.

解析：这是一个先建立平面直角坐标系再描点的问题.我们先根据要求建立平面直角坐标系，再将题中的数量关系提炼出来，借助平面直角坐标系将用文字语言描述的点转换成具有几何形态的点（如图2）.

例2 已知点A在x轴上方，在y轴左侧，且点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，求点A的坐标，

解析：这是一个根据文字语言所描述的点的坐标特征求点的坐标的问题，题中只有文字和数而没有图形，这时，我们就需要借助平面直角坐标系把用文字语言描述的点转换成具有几何形态的点，再求得点的坐标.

如图3，因为点A在x0轴上方，在y轴左侧，所以点A在平面直角坐标系巾的第二象限.又因为点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为4.所以在图形上描点可得点A的坐标为（-4，5）.

同学们想一想：不画图形能不能求出点A的坐标？

其实，我们可以利用平面直角坐标系的性质直接进行推理得到点A的坐标，设点A的坐标为（x，y），由点A在x轴上方，在y轴左侧，可以判定点A在第二象限，则x<0，y>0.因为点A到x轴的距离为5，所以|y|=5，则y=5；因为点A到y轴的距离为4，所以|x|=4，则x=-4.从而得到点A的坐标为（-4，5）.

在以上解题过程中我们没有用到以形示数思想吗？当然不是！我们借助平面直角坐标系判定点A所处的象限和点A的坐标时，其实已经想象出了一个平面直角坐标系.

不管是动手画还是想象，我们都是借助图形直观地展示了点A的性质，从而解决了问题，都体现了以形示数思想.

二、以数解形思想

当遇到图形位置变化与点的坐标相结合求点的坐标的问题时，如果我们直接观察图形的位置变化很难得出规律，就需要把图形中的数量关系挖掘出来，再分析、计算、推理，借助数量关系解决图形问题，这就是以数解形思想，

例3如图4，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为0（0，0），A（3，0），B（2，2）.如果将△OAB向上平移1个单位长度，得到△O1A1B1，再向右平移2个单位长度，得到△O2A2B2.请求出△OAB内的点M（x，y）经过这种变换后得到的点M2的坐标.

解析：对于这种图形位置变化与点的坐标相结合求点的坐标的问题，直接看图不易得出规律.这时，我们先将△OAB进行平移后得到的△O1A1B1、△02A2B2画出来（如图5），通过观察图形写出这两个三角形各自的顶点坐标，即O1（0，1），A1（3，1），Bl（2，3），02（2，1），A2（5，1），B2（4，3）.再寻找三个三角形对应顶点的坐标之间的联系：由△OAB到△O1AlB1，各顶点的横坐标不变，纵坐标都加1，则点M（x，y）向上平移1个单位长度得到点M1（x，y+l）；由△O1A1B1到△02A2B2，各顶点的纵坐标不变，横坐标都加2，则点M1（x，y+l）向右平移2个单位长度得到点M2（x+2，y+1）.

可以看出，要求平移后点的坐标，我们需要将图形中的点转换成用数表示的点，通过推导数之间的关系来求点的坐标，整个过程体现了以数解形思想，

三、数形结合思想

对于有的问题，例如图形的面积与点的坐标相结合求点的坐标的问题、由图形顶点的坐标求图形的面积的问题、由图形求点的坐标的复杂问题，有时仅仅依靠分析图形或单纯地分析、推理其中的数量关系，不能很好地解决问题，就需要将图形的分析与数的分析、推理结合起来解题，这就是数形结合思想.

例4已知点A（-1，0），B（O，2），点C在坐标轴上，且S△ABC=2，求满足条件的点C的坐标.

解析：这是一个图形的面积与点的坐标相结合求点的坐标的问题.已知点A、B的坐标，我们马上想到在平面直角坐标系中描点，将用数表示的点转换成具有几何形态的点.点C在坐标轴上，且S△ABC=2，则点C可能在x轴上，也可能在y轴上，如图6.如果只画出大致的图形，很难确定点C的坐标；如果只用代数方法，也无法直接通过计算求解，这时，就需要将数与形结合起来解题.我们先观察三角形，确定出：当点C在x轴上时，应以△ABC的AC边为底，对应的高等于点B到x轴的距离2：当点C在y轴上时，应以△ABC的BC边为底，对应的高等于点A到y轴的距离1.再根据S△ABC=2列出方程，通过分析、计算、推理，求出点C的坐标.过程略，点C的坐标为（1，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-2）.

在解这道题的过程中，我们既需要借助图形来选择合适的线段作为△ABC的底边和高，又需要列方程求解.不管是缺少图形还是缺少数，我们解题都会遇到困难，因而，运用数形结合思想是非常必要的，

在学习的过程中，我们要学会运用数形结合思想，学会用“两只眼睛”读题，“一只眼睛”要看题中的数与数量关系，“另一只眼睛”要看图形.在分析问题时，能画图要尽量画图，借助图形使抽象的思考对象变得直观，从而使计算、证明等变得简单。