读懂有序数对

2015-05-30孔凡哲

中学生数理化·七年级数学人教版 2015年3期

关键词：纵坐标坐标轴半轴

孔凡哲

对于“如何确定一个点”的问题，同学们可能都有自己的解决方法，其实，解决这个问题，既可以采用“形”的方法，也可以采用“数”的方法。

一、采用“形”的方法

（l）在一条直线上，如何确定一个点？

（2）在平面内，如何确定一个点？

对于上述问题，在直观几何中，自然好解决. 在直线上，只要知道一个已知点A以及未知点B到点A之间的距离，就可以大致确定未知点B，如果知道点B在点A的哪一侧，那么，未知点B自然完全可以唯一确定，

而在平面内，确定一个点，正如我们知道的，两条不重合的直线相交，可以得到一个交点，亦即，两条直线可以确定一个点.

二、采用“数”的方法在人类发展史上，“确定一个点”曾一度是仪有欧式几何才能完成的任务，直到一位伟大的数学家笛卡儿出现，笛卡儿找到了一种奇妙的方法，这就是坐标法（借助代数表示，分析处理几何问题，亦称解析法）.从此，一个新的儿何学分支——解析几何诞生了.

1.一维图形上的点的坐标，

在数轴上.由于确定了原点、单位长度和正方向，确定一个点只需要一个数就可以了，这个数可以是有理数，也可以是无理数.

事实上.在数轴上，任意一个点P对应着唯一的数a，而任意一个数a也对应着唯一的点P，正如“一个萝卜一个坑”.这个点P满足OP=|a|，如果a是正数，那么，点P在原点O的右侧（即数轴的正半轴上）；如果a是负数，那么，点p在原点O的左侧（即数轴的负半轴上）；如果a是O，那么，点P与原点重合.

在数轴上，每一个点都对应着一个数，这个数其实就是这个点的坐标，在图1中，点A的坐标是a，点B的坐标是b，点O的坐标是O.因此，数轴上的点，仅由一个代数量就可以唯一确定，于是，人们通常把直线叫作一维图形.

2.二维图形内的点的坐标.

在建立了两个不平行的数轴的前提下，在平面内确定一个点，只需要一个数对就可以了——无论这两条数轴是否垂直，

如图2所示，图2（1）中两个数轴并不垂直，这就是斜坐标系；图2（2）中的两个数轴相互垂直，这就是我们通常所说的直角坐标系.

图2（2）定位方式的本质在于，在由过同一个原点而且互相垂直的两个数轴组成的图形中，数对（X，y）可以表示平面内任意一点.此时，在平面内的任意一点也自然就有了它在两个坐标轴上的对应位置，通过作垂线，寻找一个点在两个坐标轴上分别对应的实数，于是，我们可以用一个有序数对表示这个点.如图3所示，从点M分别向X轴、y轴作垂线，若垂足对应的数轴上的数分别为X、y，则可用数对（x，y）表示点M.值得注意的是，数对（X，y）是一个整体，数对的两个数有位置之分，即有顺序之分，是有序数对.

由于X轴、y轴都有正半轴、负半轴，两个相互垂直的X轴、y轴就将平面划分为两条坐标轴与四个区域，这四个区域分别叫第一、二、三、四象限，根据点对应各坐标轴上数的属性，四个象限内点的坐标有如图4所示的特征.而坐标轴上的点（包括坐标原点）位于边界上，不属于任何一个象限，其中在X轴上的点纵坐标为O，在y轴上的点横坐标为O.

例1 （2013年株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 _____象限.

分析与解答根据各象限内的点的坐标特征解答.本题考查了各象限内点的坐标特征，准确识别各象限内点的坐标特征是解决本题的关键。

答案为第一象限.

三、确定-个点需要几个条件

在直线上，确定一个点，仅仅需要一个代数条件即可，这就是数轴上的点对应的数，

在平面内，确定一个点，仅仅需要两个独立的代数条件就可以了，这就是平面直角坐标系内的横、纵坐标.

四、如何确定常见的变换后点的坐标初中阶段将要系统学习图形的变换形式，包括轴对称变换、平移和旋转等，采用点的坐标的变化来表达这些变换，其实更简洁、更直观.

1.轴对称变换.

对于点与点之间的轴对称变换，如果对称轴是坐标轴，对称点的坐标间的关系如图5所示.

分析解答、根据关于X轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可解决，点P（X，y）关于X轴对称的点P的坐标为（X，-y）.

因为点P（2，3）关于X轴对称的点的坐标为（2，-3）.故答案为（2，-3）.

2.关于坐标原点对称.