数形结合思想的应用

黄彦芹

在高中数学中，数形结合思想占据着极其重要的地位，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。数形结合思想就是将数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法。根据需要，可把量的问题转化为图的问题去研究，或者把图形问题转化为数量关系问题去研究。数形结合在数学解题过程中有重要的指导意义，它不仅可以简洁地使一些题目得到解决，使复杂、抽象的问题具体化、简单化，同时还可以开拓解题思路，运用“以数解形”“以形助数”的方法优化解题途径，为研究和探求数学问题提供鲜明和创新的思路。在解答数学问题时，有效运用数形结合思想，将“数”和“形”有机结合起来，便可以达到快速、巧妙、精确解题的目的。现结合具体例题，谈谈数形结合思想的应用。

一，有关动曲线与定曲线的问题

例1 已知函数 若 ，则a的取值范围是（）。

A.

B.

C.[-2，1]

D.[-2，0]

解析：函数 的图像如图1所示。

当x≤0时，由g'（x）=2x-2，得曲线g（x） =X²-2x在原点（O，0）处的切线的斜率为k=g'（O）=-2，则-2≤a≤O时，|f（x）|≥ax恒成立。

当r>0时，若直线y=ax与曲线g（x）=ln（x+1）有公共点，则O

.

综上所述，a的取值范围为[-2，O]。

二.函数的奇偶性问题

例2 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则（）。

A.

B.f（sin l>f（cos l）

C.f（tan 3）

D.f（sin 2）

解析：由f（x）=f（x+2），得函数f（x）的周期为2，则可画出它的大致图像（如图2）。

由|sin 2|、|cos 2 |均属于区间（O，1），且|sin 2|>|cos 2|，函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，得f（sin 2）

三、函数、方程的零点个数问题

例3 已知函数 有下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断，正确的是（）。

A.当k>0时有3个零点，当k<0时有2个零点

B.当k>0时有4个零点，当k<0时有1个零点

C.无论k为何值，均有2个零点

D.无论k为何值，均有4个零点

解析：（1）当k>0时，函数f（x）的图像如图3所示。由f[f（x）]+1=O，得f[f（z）]=-1，则 或f（x）=t₂∈（o，1）。

由f（x） =t₁，得存在两个零点x₁、X₂；由f（x）=t₂，得存在两个零点X₃、X₄。

此时共存在4个零点。

（2）当k<0时，函数f（x）的图像如图4所示。由f[f（x）]+1=O，得，f[f（x）]=-1，则f（x）=t∈（O，1），此时仅有1个零点xo。

应选B。

四.几何概型问题

例4 向平面区域 ，o≤y≤1）内随机投入一点，则该点落在曲线（下转第18页）这个数字说明，死海的水面在过去40年里正以每年0.5m的速度（现在还有水位每年下降Im的说法）在下降。

X³（O≤z≤1），

下方的概率为

。

解析：作出图形（如图5）。

平面区域 的面积为

由图5得曲线y=X³（O≤z≤1），

与x轴围成的区域可分为两部分，分别记其面积为

所求概率为

五.解析几何中的最值问题

例5 （1）在直线l：3x-y-l=0上求一点P，使点P到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。

（2）在直线：3x-y-l=0上求一点M，使点M到点A（4，1）和B（O，4）的距离之差最大。

解析：如图6。

（1）点A（4，1）和C（3，4）在直线l：3x-y-l=0的同侧。

易得点c关于直线l的对称点为 。

直线AC.的方程为19x+17y-93=0。

联立19x+17y-93=0和3x-y-1=o，可得点 。

（2）点A（4，1）和B（O，4）在直线l：3x-y-l=O的两侧。

易得点B关于直线l：3x-y-l=0的对称点为B₁（3，3）。

直线AB₁的方程为2x+y-9=0。

联立2x+y-9=O和3x-y-1=0，可得点M（2，5）。

六，立体几何问题

例6 一个四面体相对的棱长度分别相等，分别为 ，则该四面体的体积为

。

解析：如图7，构造一长方体ABCD-A₁8₁C₁D₁。

设四面体AB₁D₁C三组相对的A棱的长度分别为 ，长方体的棱长分别为x、y、z。