分析高考试题，明确复习方向

梅磊

纵观2014年高考全国新课标版1和新课标版2文、理共四套试卷，吸引眼球、令人感觉眼前一亮的就是4道不同的统计解答题。这4道题给2014年高考新课标卷平添了几分亮点，为同学们备战2015年高考指明了复习方向。

例1 （2014年高考全国新课标版1理科第18题）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图1所示的频率分布直方图。

（1）求这500件产品质量指标值的样，本平均数z和样本方差S2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。

（2）由直方图可以认为这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，（σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差s²。

①利用该正态分布，求P（187. 8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）内的产品的件数，利用①的结果，求EX。

附： ，若 ，则

解：（1）抽取的产品的质量指标值的样本平均数z和样本方差S²分别为：x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200；S²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+（10）²×0.24+（20）²×0.08+（30）²×0.02=150。

（2）①由（1）知Z～N（200，150）。

P（187.8<2<212.2）=P（200-12. 2

②由①知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）内的概率为0.6826。

由题意知X～B （100，0.6826），则EX=100 XO.6826=68.26。

点评：一般情况下，根据频率分布直方图估计样本平均数和样本方差，以及利用正态分布的意义解题，都是冷门考点，可2014年高考却以解答题的形式进行考查，这提醒同学们在复习过程中要面面俱到，不要忽视任何知识点。

例2 （2014年高考全国新课标版1文科第18题）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如表1所示的频数分布表。

（1）作出这些数据的频率分布直方图。

（2）估计这种产品的质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解：（1）图略。

（2）这种产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08 =100； S²=（-20）²×0.06+（-10）²×0.26+0×0.38+ （10）²×0.22+（20）²×0.08=104。

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68。

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定。

点评：画频率分布直方图时，要注意纵坐标是“频率/组距”，而不是“频率”。还要注意本题的第三问不是“独立性检验”问题。

例3 （2014年高考全国新课标版2理科第19题）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表2所示。

（1）求y关于t的线性回归方程。

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公

式分别为：

解：（1）根据所给数据计算，得：

所求回归方程为y=0.5t+2.3。

（2）由（1）知b=0.5>0，则2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t-9代入（1）中的回归方程，得y=0.5×9+2.3=6.8，则预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

点评：根据所给的最小二乘估计公式分别求出系数6和a，为了确保计算准确，可以分步计算 和

例4 （2014年高考全国新课标版2文科第19题）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图（如图2）。

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数。

（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率。

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

解：（1）根据所给茎叶图，可得：将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25位和第26位的都是75，则样本中位数为75，故该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75；将50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25位和第26位的分别是66、68，则样本中位数为 ，故该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67。

（2）根据所给茎叶图，可得：50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为 ，则该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1、0.16。

（3）根据所给茎叶图，可得：市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市的市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大。

点评：根据茎叶图求众数、平均数、中位数是高频考点，同学们要高度重视。根据茎叶图作出统计评价也是热门考点，希望大家注意。

现代社会是一个信息化的社会，人类已经进人大数据时代。日常生活中，数据信息随处可见，因此专门研究如何收集、整理和分析数据的科学——统计学就备受重视，所以2014年高考全国新课标卷比以往更加突出对统计的考查。同学们在复习备考过程中，要重视抽样方法（简单随机抽样、系统抽样和分层抽样）、统计图表（频率分布表、频率分布直方图、茎叶图）、数字特征（众数、平均数、中位数、极差、方差、标准差）、线性回归和独立性检验等统计知识。