一道高考题的推广探究

张志欣 谢意纯

[摘要]主要叙述了在研读历年的高考题时，发现了一道以椭圆为背景，结合向量与同心圆知识的试题.该试题构思精巧，综合性强，值得探究.将对其进行探究并推广到其他圆锥曲线.

[关键词]圆锥曲线同心圆垂直推广研究

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110043

一、真题再现

题目：椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程；

解：（1）由题意易得椭圆E的方程x28+y24=1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组y=kx+m

x28+y24=1，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0①

由韦达定理得

x1+x2=-4km1+2k2

x1x2=2m2-81+2k2，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2（2m2-8）1+2k2-4k2m21+2k2+m2=m2-8k21+2k2.要使OA⊥OB，需使x1x2+y1y2=0，即2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0.又因为在①式中，8k2-m2+4>0，所以m2>2

3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=|m|1+k2，r2=m21+k2=m21+3m2-88=83，r=263，所求的圆为x2+y2=83.此时圆的切线y=kx+m满足m≥263或m≤-263，而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263，与椭圆x28+y24=1的两个交点为（263，±263）或（-263，±263）满足OA⊥OB.综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB.

二、问题与讨论

对此，我们不禁提出这样一个问题：对于椭圆E：x2a2+y2b2=1是否存在这样的圆，使之任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB，若存在，又是否与a，b相关？

解：假设存在这样的椭圆E.

令x2a2+y2b2=1

y=kx+m，得

b2x2+a2（k2x2+2kxm+m2）=a2b2，即（b2+a2k2）x2+2a2kxm+a2m2-a2b2=0，

由韦达定理得

x1+x2=-2a2kmb2+a2k2

x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，

由y=kx+m得

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（a2m2-a2b2）k2b2+a2k2-2a2k2m2b2+a2k2+m2，

即y1y2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.

要使OA⊥OB，则x1x2+y1y2=a2m2-a2b2b2+a2k2+b2m2-a2b2k2b2+a2k2=（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2b2+a2k2=0，

即（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2=0，得k2=（a2+b2）m2a2b2-1.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为

配方法一般是找出条件和题目的要求后，结合定义域的具体取值范围来求解函数最值.但并不是每一个题型都能使用配方法，还要具体题目具体分析.

二、换元法

换元法是引入新的变量，取代原式中的变量或者代数式，以便将被求函数化简为易于求解的形式.换元法是求解函数最值问题常用的重要的方法.做这类题目的基本要求是学会化简.在学会化简的基础上，再根据定义域的具体取值范围来求解函数最值.

【例2】已知x2+y2=1，求z=2x2+2xy+y2的最值.

解：由x2+y2=1，可设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π]，

则z=2cos2α+2cosαsinα+sin2α

=32+12cos2α+sin2α

=32+52sin（2α+β）（β=arcsin55）

当sin（2α+β）=1时，z有最大值为32+52；

当sin（2α+β）=-1时，z有最小值为32-52.

分析：学生用三角换元方法求最值时，需要注意结合三角函数公式的运用，如例题中的辅助角公式.学生还要注重在三角函数中“1”的活用，如sin2α+cos2α=1，tanα·cotα=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考虑用三角函数将其代换，利用三角函数的方法进行求解.同时，学生用换元法求解代数式的最值时，有时需要结合其他方面的知识内容，如基本不等式、三角函数等.

学生在数学学习中会习惯于根据题目的已知条件去简单的计算.但在求解函数最值问题的计算中需要用换元法.有的学生在做习题时一遇到困难就思维短路，题目做不下去时就会放弃，这是典型的学习困难或学习心理障碍.教师在教会学生解题方法的同时，还要对其进行心理辅导，帮助学生克服学习心理障碍，培养学生的解题能力.

三、判别式法

数学学习中的直接判断是学生直觉能力的直接表现，直接思维在很大程度上对学习效果有很大的影响.判别式法是我们解题时常用的解题方法，也是最直接的解题方法.由于学生具有一定的思维能力和判断能力，在数学解题中，可以引导学生大胆地使用判别式法.在解题中掌握判别式法很有必要.

例如，如果函数解析式y=f（x）通过整理变形可以转化为a（y）x2+b（y）x+c（y）=0（a（y）≠0）的形式，学生可以利用一元二次方程有实根存在的条件Δ≥0来进行函数最值求解.判别式法常用于分式函数和无理函数.

【例3】求函数y=（x2-3x+4）/（x2+3x+4）的最值.

解：∵分母x2+3x+4>0恒成立，函数的定义域x∈R.

∴原函数表达式可化为（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0.

当y=1时，x=0；

当y≠1时，由Δ=（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）≥0，得17≤y≤7（y≠1），

∴函数的最小值为17，最大值为7.

分析：如果原函数的定义域是给定区间上的函数，学生在用判别式法求出函数的变化范围后，需要将求得的结果代入原函数进行检验，以免出现误判情况.同时，学生在应用判别式法时，需要注意的是，如果函数形式为分式形式，则其分子、分母的二次项系数不能同时为零，而对于化简后的二次函数形式，学生也要分为二次项系数为零和二次项系数不为零两种情况进行讨论，以保证结果的全面性和完整性.

在数学学习中，学生的每一个判断不可能都是正确的，这就要求教师在教学中帮助学生学会验证自己的判断，帮助学生学会修正错误，提高认识.

1983年，美国哈佛大学心理学教授霍华德·加德纳在他的《智能的结构：多元智能理论》著作中提到：“智能是每个人都不同程度地拥有并表现在生活各个方面的能力，而不是如传统的智力观把智力狭窄限于语言和数理逻辑方面.”学生是有学习差异的学习个体，在数学学习中的思维能力也会有很大的差异.学习过程应该是伴随着学生多元智能的激发去探索和认识问题.学生的思维能力也会在学习的过程中得到发展.对于学生在学习中表现出来的学习差异，教师应给予理解和指导，不能对判断失误的学生加以指责.

学生在利用函数单调性求解函数最值问题时，需要注意函数在公共定义区间内的单调性要保持一致.同时，学生利用函数求导判断函数的单调性时，要注意函数求导后符号的正负，如果求导后函数符号为正，则其在相应区间内为增函数，在区间端点处取得最小值；如果求导后函数符号为负，则其在相应区间内为减函数，在区间端点处取得最大值.

总之，函数最值问题的求解是高中数学的重要内容，学生在应用不同方法求解函数最值问题时，需要注意每一种方法的使用条件和约束条件，如定义域的取值范围、值域范围和隐含的约束条件等.学生只有明确这些条件，将函数整理转化为熟悉的形式，才能顺利地得出正确答案.

（责任编辑钟伟芳）