函数与方程思想精析

张志华

函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：（1）借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解（证）方程（等式）或不等式、参数的取值范围等问题；（2）通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解.

函数思想

函数思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题的数量关系，建立函數关系或构造函数，再利用函数的图象和性质（定义或和值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等）去分析问题、转化问题、解决问题.

1. 构造函数，运用函数的性质

例1 已知关于[x]的方程[x2-2cosx+a2=0]有惟一解，求[a]的值.

解析 记[f（x）=x2-2cosx+a2]，

则[f（x）]为偶函数，[y=f（x）]的图象与[x]轴的交点必关于[y]轴对称.

故[f（x）=0]有惟一解时，当且仅当[x=0].

所以[a=±2].

点拨 本例将方程的组成部分构造成函数，利用奇偶函数的对称性解决问题.

例2 解不等式[x（1+x2+2）+（x+1）（1+][（x+1）2+2）][>0.]

解析 [x（1+x2+2）+（x+1）（1+（x+1）2+2）]具有相同的运算法则，记[f（x）=x（1+x2+2）]，

则[f（x）]为奇函数，且[f（x）=1+x2+2+x2x2+2>0.]

[∴y=f（x）是R]上的增函数.

[∴]原不等式[?f（x）+f（x+1）>0?f（x+1）>-f（x）?][f（x+1）>f（-x）?x+1>-x].

[∴x>-12].

点拨 本例将不等式的组成部分构造成函数，利用函数的奇偶性和单调性巧解复杂的不等式.

2. 选定主元，提示函数关系

例3 对于[a∈[-1，1]]，求使不等式[（23）x2+ax+1<（23）2x+a]恒成立的[x]的取值范围.

解析 [（23）x2+ax+1<（23）2x+a?x2+ax+1>2x+a]

[?（x-1）a+（x2-2x+1）>0]

记[f（a）=（x-1）a+（x2-2x+1）（a∈[-1，1]），]

则[f（a）>0]对[a∈[-1，1]]恒成立.

[∴f（1）>0，f（-1）>0，]即[（x-1）+（x2-2x+1）>0，-（x-1）+（x2-2x+1）>0.]

[∴x∈（-∞，0）?（2，+∞）.]

点拨 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于[x]的不等式讨论.然而，若变换一个角度以[a]为变量，即关于[a]的一次不等式[（x-1）a+（x2-2x+1）>0]在[[-1，1]]上恒成立的问题.

例4 若[a，b，c]均为实数，且[a<1，b<1，c<1]，求证：[ab+bc+ca+1>0].

解析 记[f（a）=ab+bc+ca+1=（b+c）a+（bc+1），][a∈（-1，1）]，

则易证[f（1）=（b+c）+（bc+1）=（b+1）（c+1）>0，]

[f（-1）=-（b+c）+（bc+1）=（b-1）（c-1）>0].

故[f（a）>0]对[a∈（-1，1）]恒成立，[ab+bc+ca+1>0]得证.

点拨 本题变量虽多，选定一个主元[a]，构造出关于[a]的函数轻松解决了问题.

方程思想

方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质分析、转化问题，使问题获得解决.

1. 解方程或分析方程的解

例5 已知[f（x）=x12-x-12]，问[f（x）]的反函数图象是否经过点[（0，1）？]反函数图象与直线[y=x]有无交点？

解析 [y=f-1（x）]图象与直线[y=x]有无交点，

[?y=f（x）]图象与直线[y=x]有无交点，

[?]方程[x=x12-x-12]是否有解（令[x=t，t>0]），

[?]方程[t3-t2+1=0]是否有正根.

记[g（t）=t3-t2+1，t>0]，由导数法可知，[g（t）]在[（0，23）]上递减，在[（23，+∞）]上递增，

[∴g（t）min=g（23）=2327>0].

[∴g（t）=t3-t2+1=0]无解.

故[y=f-1（x）]图象与直线[y=x]无交点.

点拨 函数与方程、不等式密切相关，将函数问题转化为方程的解或方程根的讨论来解决问题.

2. 构造方程求解

例6 设椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，右顶点为A，上顶点为B. 已知[|AB|=32][|F1F2|].

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.

解析 （1）[e=22].

（2）由（1）知，[a2=2c2]，[b2=c2].

故椭圆方程为[x22c2+y2c2=1].

设[P（x0，y0）]，由[F1（-c，0），B（0，c）]得，

[F1P=（x0+c，y0）]，[F1B=（c，c）].

由已知得，[F1P?F1B]=0，即[（x0+c）c+y0c=0].

又[c≠0]，故有[x0+y0+c=0]①.

又因为点[P]在椭圆上，故[x022c2+y02c2=1]②.

联立①②得，[3x02+4cx0=0].

而点[P]不是椭圆的顶点，故[x0=-43c]，代入①得，[y0=c3]，则点[P]的坐标为[-4c3，c3].

设圆的圆心为[T（x1，y1）]，

则[x1=-4c3+02=-2c3]，[y1=c3+c2=2c3]，进而圆的半径[r=x1-02+y1-c2=53c.]

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.由l与圆相切，可得[kx1-y1k2+1=r]，即[k-2c3-2c3k2+1=53c，]整理得[k2-8k+1=0]，解得[k=4±15].

所以，直线[l]的斜率为[4+15]或[4-15].

点拨 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组，通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况，进一步研究直线与圆锥曲线的关系.

函数与方程思想的运用

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的.

例7 直线[y=kx+1]和双曲线[x2-y2=1]的左支交于A，B两点，直线[l]过点[P（-2，0）]和线段AB的中点M，求[l]在[y]轴上的截距[b]的取值范围.

解析 由[y=kx+1，x2-y2=1][得， （k2-1）x2+2kx+2=0.]

设其二根為[x1，x2]，依条件可知[Δ>0，x1+x2<-2，x1x2>1，]

[解得1

由[P，M，Q（0，b）]三点共线得，[b=2-2k2+k+2.]

而[f（k）=-2k2+k+2在（1，2）]上递减，

[∴f（k）∈（2-2，0）?（0，1），故b∈（-∞，-2-2）?（2，+∞）.]

点拨 不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，对于直线与曲线交点问题，经常要转化为函数与方程问题去解决.