几个典型问题的复数表示

程晓亮　车明刚

复平面上的点与复数一一对应，从而，复数为中学平面几何的证明提供了新的视觉，即平面几何中的问题都能用复数方法加以证明.在平面几何问题的证明中恰当穿插复数方法能够化复杂为简单，使问题的解决更加方便.下面给出三点共线和四点共圆的复数表示，直观地说明托勒密定理.

1.三点共线问题

给定复平面上互不相同的三点z1，z2，z3，试确定它们共线的充分必要条件.

解显然互不相同的三点z1，z2，z3共线的充分必要条件是向量z1z3和z2z3同向或者反向共线，所以它们的幅角相差π的整数倍.即这样就得到了托勒密定理.

托勒密定理是平面几何中基本的定理，从它出发可以推出正、余弦的和差公式及一系列三角恒等式……顺便指出，复平面上圆的一般方程可以表示为

azz-+bz-+b-z+c=0，

其中a，c为实数，a≠0，b为复数，并且|b|2-ac>0.

标准方程（z-a）（z-a）=r，其中复数a为圆心所在的点，实数r为圆的半径.利用这两个方程对于求解某些与圆相关的问题也会收到意想不到的效果.