高考之前话审题

刘斌

执因寻果

任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的. 条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路. 条件有明示的、有隐含的，审视条件更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥其解题功能.

例1  在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]，若|[OP]|<[12]，则|[OA]|的取值范围是（   ）

A. [（0，52]]     B. [（52，72]]

C. [（52，2]]   D. [（72，2]]

审题思路  由[AB1]+[AB2]考虑建立直角坐标系→设出所有相关点坐标→寻求条件和结论的关系.

解析  建立如图直角坐标系.

设[O（x，y）]，[B1（a，0）]，[B2（0，b）]，则[P（a，b）].

由已知得，

[（x-a）2+y2=1，①x2+（y-b）2=1，②（x-a）2+（y-b）2<14，③]

由③得[-（x-a）2-（y-b）2>-14]，④

①+②+④得，[x2+y2>74]，则[|OA|>72].

①+②得，[x2+y2≤（x-a）2+y2+x2+（y-b）2=2，]

则[|OA|≤2]，故[72<|OA|]≤[2].

执果索因

解决问题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误. 因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的. 审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律. 善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向. 例如在利用函数的单调性和最值证明不等式问题中，若不等式中含有两个（或两个以上）变量，就有必要分析结论的结构以及和已知条件的关系，通过构造函数（单变量），利用求导完成.

例2  已知函数[f（x）=lnx].

（1）若直线[y=x+m]与函数[f（x）]相切，求实数[m]的值;

（2）设[0

审题思路  对第（2）问可作如下分析：由[00]，[f（b）-f（a）b-a]？[2a+b]?[lnb-lnab-a]？[2a+b]?[lnb-lna]？[2（b-a）a+b]?ln[ba]？[2（ba-1）ba+1]?[lnt]？[2（t-1）t+1] （设[t=ba]，[t>1]）?[lnt？]2（1-[2t+1]），到此可构造函数[f（t）=lnt-2（1-2t+1）（t>1）]，利用导数证明不等式.

解析  （1）由已知[f（x）=1x]，设切点坐标为[P（x0，y0）]，

则[1x0=1，y0=lnx0，y0=x0+m，]解得[x0=1，y0=1，m=-1.]

（2）设[f（t）=lnt-2（1-2t+1），t>1.]

则[f（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2]≥0，

则[f（t）]在（1，+∞）上递增.

[∴f（t）>f（1）]，即[lnt>2（1-2t+1）.]

将[t=ba]，代入上式整理可得[lnb-lnab-a]>[2a+b]，即[f（b）-f（a）b-a]>[2a+b].

定性分析

几何问题的审题过程大致是：读题→标注→分析（确定几何体的条件和基本量）→证明→建系→计算. 而分析确定几何体的条件，明确基 本量是建立坐标系和求相关点坐标的基础和前提，可先定性后定量.

例3  如图，在正三棱锥[A-BCD]中，[E，F]分别是棱[AB，BC]的中点，[EF⊥DE]且[BC=1]，则正三棱锥[A-BCD]的体积为（   ）

A. [212]     B. [224]     C. [312]     D. [324]

审题思路  （1）根据锥体的公式[V=13Sh]，故确定正三棱锥体积只需确定底面面积和高，显然[BC=1]可以确定底面，当然[EF⊥DE]就是确定正三棱锥高的间接条件. 如何使用条件[EF⊥DE]成为解决本问题的关键. （2）显然[AC∥EF]，则[AC⊥DE]，又可证[AC⊥BD]，则[AC⊥面ABD].（3）可考虑建立直角坐标系，由[EF⊥DE]求点[A]到面[BCD]的距离.

解析  如图，点[A]在面[BCD]上的射影[O]为正[△BCD]的中心，如图建立直角坐标系[O-xyz]. 设[A（0，0，t）]，[B（-12]，[-36]，0），[C（12]，-[36]，0），[D（0，33]，0），[E（-14]，-[312]，[t2]），[F（0，-36]，0），

[EF]=（[14]，-[312]，-[t2]），[DE]=（-[14]，-[5312]，[t2]）.

由已知[EF]·[DE]=0，

解得[t=66]，[VA-BCD=13S△BCD·AO=][224].

定量分析

“设，列，求”是我们解决很多数学问题的必经过程，而在用代数方法研究几何问题时这一方法尤为重要. 通过所设未知量的“个数”，挖掘题目的条件，布列方程，寻求解决问题的途径. 比如求椭圆、双曲线的标准方程一般需要两个条件;而求其离心率只需一个条件即可.

例4  如图，已知双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的两条渐近线分别为[l1]，[l2]，左、右焦点分别为[F1]，[F2]，点[P]在[l1]上且[PF1⊥l2]，[PF2∥l2]，则此双曲线的离心率为（   ）

A. [2]      B. 2      C. [3]      D. 3

审题思路  可设[P（x0，y0）]，由已知条件列方程组求解.

解析  设[P（x0，y0）]，由已知得，[y0=bax0，①y0x0-c=-ba，②y0x0+c=ba，③]

消去[x0，y0]得，[b2=3a2].

[∴e=ca=2.]