图象题解法探究
2015-05-30王勇
王勇
识 图
给出解析式或文字语言描述，要求同学们读懂题意，紧扣函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，有时还需借助函数的零点、特殊点对应的函数值、导数知识、极限思想等.此类问题结合选择支利用排除法不难找出正确答案.
例1 （2014年高考江西卷）在同一直角坐标系中，函数[y=ax2-x+a2]与[y=a2x3-2ax2+x+a（a∈R）]的图象不可能的是（ ）
[A B C D]
命题意图 本题考查函数图象的识别，意在考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力.
解析 （1）令[a=0]，则函数[y=ax2-x+a2]与[y=a2x3-2ax2+x+a]分别为[y=-x]与[y=x]，对应的图象是选项D中的图象.
记[f（x）=ax2-x+a2]，[g（x）=a2x3-2ax2+x+a]，
（2）取[a=12]，则[g（0）>f（0）>0].
而[f（x）=12x2-x+14=12（x-1）2-14]，令[g（x）=0]，得[x=23，2]，易知[g（x）]在区间[（-∞，23）]和[（2，+∞）]上单调递增，在区间[（23，2）]上单调递减，
所以[g（x）]的极小值为[g（2）=12].
又[f（2）=14]，所以[g（2）>f（2）]，所以选项A中的图象有可能.
（3）取[a=2]，则[g（0）>f（0）>0]，令[g（x）=0]，得[x=16，12]，易知[g（x）]在区间[（-∞，16）]和[（12，+∞）]上单调递增，在区间[（16，12）]上单调递减.
所以[g（x）]的极小值为[g（12）=2].
又[f（12）=1]，
所以[g（12）>f（12）]，所以选项C中的图象有可能. 利用排除法可知，本题应选B.
点拨 给出函数解析式判断函数的图象是近几年高考的重点和热点，多数需要利用导数研究函数的单调性判断其变化趋势，或者利用导数求极值（最值）来研究函数零点.
释 图
利用所给的函数图象（或部分函数图象），通过观察、探究揭示其蕴含的代数意义或几何意义，再结合有关数学知识可顺利解决问题.
例2 （2014年高考湖北卷）如图1所示，函数[y=f（x）]的图象由两条射线和三条线段组成. 若[?x∈R]，[f（x）>f（x-1）]，则正实数[a]的取值范围为 .
图1
命题意图 本题考查函数的性质，函数图象的平移以及恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想解决问题的能力.
解析 “[?x∈R，fx>fx-1]”等价于“函数[y=fx]的图象恒在函数[y=fx-1]的图象的上方”，函数[y=fx-1]的图象是由函数[y=fx]的图象向右平移1个单位而得到，如图2所示，要使[?x∈R，][fx>fx-1]，则[3a--3a<1]，解得[a<16]，又[a]为正实数，故[a]的取值范围为[0，16].
图2
点拨 透彻领悟“[?x∈R，fx>fx-1]”的含义是解题的突破口，把不等式恒成立问题转化为图象的位置关系问题是快速求解的关键.
例3 （2014年高考陕西卷）如图3，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）. 已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
[ 图3]
A. [y=12x3-12x2-x] B. [y=12x3+12x2-3x]
C. [y=14x3-x] D. [y=14x3+12x2-2x]
命题立意 本题考查考生运用函数知识解决实际问题的能力和对图形的观察能力. 本题可采用检验的方法，也可根据已知条件逐步进行求解.
解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点[（0，0）]，[（2，0）]，在[x∈（π2，π]]处的切线方程为[y=-x]，在[（2，0）]处的切线方程为[y=3x-6]，以此对选项进行检验. A选项，[y=12x3-12x2-x]，显然过两个定点[（0，0）]，[（2，0）]，又[y=32x2-x-1]，则[yx=0=-1]，[yx=2=3]，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.
解法二 设该三次函数为[f（x）=ax3+bx2+cx+d]，则[f（x）=3ax2+2bx+c].
由题设有[f（0）=0?d=0，f（2）=0?8a+4b+2c+d=0，f（0）=-1?c=-1，f（2）=3?12a+4b+c=3，]
解得[a=12]，[b=-12]，[c=-1]，[d=0].
所以该函数的解析式为[y=12x3-12x2-x]，故选A.
点拨 三次函数是高中阶段的一类重要函数，其图象和性质需要利用导数来解决，其导函数为二次函数，而二次函数在函数学习中起着重要作用，需要熟练掌握.
译 图
给出图形，要求考生用另外的图象去“转译”此图形所蕴含的丰富信息.解决这类问题的基本步骤如下.
题示样图[仔细观察转译含义]代数意义[以图达意展现新貌]确定新图
例4 （2014年高考新课标Ⅰ卷） [ 图4]如图4，圆[O]的半径为1，[A]是圆上的定点，[P]是圆上的动点，角[x]的始边为射线[OA]，终边为射线[OP]，过点[P]作直线[OA]的垂线，垂足为[M]. 将点[M]到直线[OP]的距离表示成[x]的函数[f（x）]，则[y=f（x）]在[0，π]上的图象大致为（ ）
A B C D
命题意图 本题考查建立函数解析式及函数的图象，意在考查考生译图、用图的能力.
解析 由题意知，[f（x）=cosx?sinx][=12|sin2x|]，其周期为[T=π2，]最大值为[12]，最小值为0. 结合选择支可知本题应选B.
点拨 在选择题中，图象问题常用到函数的奇偶性、单调性、极值、特殊点处的函数值等.
用 图
华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”. 有些题若能借助图象直观去解，即数形结合，则可收到事半功倍的效果.
例5 （2014年高考重庆卷）已知函数[f（x）=][1x+1-3， x∈-1，0，x， x∈0，1，]且[g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且仅有两个不同的零点，则实数[m]的取值范围是（ ）
A. [-94，-2?0，12] B. [-114，-2?0，12]
C. [-94，-2?0，23] D. [-114，-2?0，23]
命题意图 本题考查分段函数、函数的零点、斜率公式及利用函数图象求解参数的取值范围，意在考查考生综合运用函数图象求解函数零点问题，运用函数与方程思想、数形结合思想、等价转化思想解答问题的能力和计算能力.
解析 [g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且仅有两个不同的零点就是函数[y=f（x）]的图象与函数[y=m（x+1）]的图象有且仅有两个不同的交点， [ 图5]在同一直角坐标系中作出函数[f（x）=1x+1-3， x∈-1，0，x， x∈0，1]和函数[y=m（x+1）]的图象，如图5所示.
当直线[y=m（x+1）]与[y=1x+1-3， x∈-1，0]和[y=x， x∈0，1]都相交时，[0 当直线[y=m（x+1）]与[y=1x+1-3， x∈-1，0]有两个交点时，由方程组[y=m（x+1），y=1x+1-3，]消去[y]得[mx2+（2m+3）x+m+2=0]，当[Δ=9+4m=0]，即[m=-94]时，直线[y=m（x+1）]与[y=1x+1-3]相切，当直线[y=m（x+1）]过点[（0，-2）]时，[m=-2]，所以[m∈-94，-2]. 综上，实数[m]的取值范围是[-94，-2?0，12]. 答案 A 点拨 在求解函数零点问题时往往要转化为两曲线的交点个数问题，需要先画出函数的图象，本题中在画分段函数的图象时要注意自变量的取值范围，在函数的定义域内画图，再利用直线[y=m（x+1）]过定点[（-1，0）]，通过转动直线判断何时有两个交点，利用分界点处直线的斜率求解范围. 例6 （2014年高考天津卷）已知函数[f（x）=][x2+3x，x∈R]. 若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4个互异的实数根，则实数[a]的取值范围为 . 命题意图 本题主要考查函数的零点、函数的性质、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查考生的转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想，以及运算求解能力. [1 2 3 4 5][-5 -4 -3 -2 -1][-1][13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1] [ 图6] 解析 画出函数[f（x）=x2+3x]的大致图象，如图6所示. 令[g（x）=ax-1]，则函数[f（x）]的图象与函数[g（x）]的图象有且仅有4个不同的交点，显然[a>0]. 联立[y=-x2-3x，y=a（1-x），]消去[y]，得[x2+（3-a）x+a=0]， 由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=1]或[a=9]（舍去），由图象可知，当[0 联立[y=x2+3x，y=a（x-1）]消去[y]得，[x2+（3-a）x+a=0]. 由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=9]或[a=1]（舍去），由图象可知，当[a>9]时，函数[f（x）]的图象与函数[g（x）]的图象有且仅有4个不同的交点. 综上所述，若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4个互异的实数根，则实数[a]的取值范围为[（0，1）?（9，+∞）]. 点拨 正确画出函数[f（x）=x2+3x]和[g（x）=ax-1]的图象是解题的关键，其中函数[g（x）=ax-1]的图象是过点[（1，0）]的折线.
