用分类讨论法解决含参导数问题

徐锐

利用导数解决函数的单调性和极值问题，经常需要进行分类讨论，所以导数与分类讨论结下了不解之缘，要想获得高分，必须占领这块“阵地”.我们在遇到含有参数的导数问题时往往得分率不高，主要原因就是不会分类讨论.

下面我们从一道简单例题的解答入手，看看遇到参数时应该如何进行分类讨论求解.

例  若函数[f（x）=x+2x+lnx]，求函数[f（x）]的极值点.

解析  因为[f（x）=x+2x+lnx（x>0）]，

所以[f（x）=1-2x2+1x=x2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）=0]得[x=-2]（舍）或[x=1.]

列表如下：

[[x]＼&（0，1）＼&1＼&（1，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&极小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=1]是函数[f（x）]的极小值点.

变式1  若函数[f（x）=x+ax+lnx]，试讨论函数[f（x）]的极值存在情况.

解析  [f（x）=1-ax2+1x=x2+x-ax2（x>0），]

令[f（x）=0]，即[x2+x-a=0]， [Δ=1+4a]（注意这里方程根的个数需要讨论）.

（1）当[Δ≤0]，即[a≤-14]时，[f（x）≥0]，[f（x）]在（0，+∞）上单调递增，无极值.

（2）当[Δ>0]，即[a>-14]时，解[x2+x-a=0]得，

[x1=-1-1+4a2<0]或[x2=-1+1+4a2.]

①若[a>0]，则[x2>0.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&极小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=x2]时函数[f（x）]取到极小值，即[a>0]函数[f（x）]存在极小值.

②若[-14

综上所述，当[a>0]时，函数[f（x）]存在极值;当[a≤0]时，函数[f（x）]不存在极值.

变式2  若函数[f（x）=ax+2x+lnx]，求函数[f（x）]的单调区间.

解析  [f（x）=a-2x2+1x=ax2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）]=0，即[h（x）=ax2+x-2=0]（注意这里方程的类型需要讨论）.

（1）当[a=0]时，作出[h（x）=x-2]的图象可知，

①[x∈（0，2）， h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，2）上单调递减.

②[x∈（2，+∞）， h（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（2，+∞）上单调递增.

（2）当[a<0]时，因为[x=-12a>0， h（0）=-2<0]，

①若[Δ≤0]，即[a≤-18]时，在[（0，+∞）]上[h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，+∞）上单调递减.

②若[Δ>0]，即[-18

[x1=-1+1+8aa]或[x2=-1-1+8a2a.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x1]）＼&[x1]＼&（[x1]，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&0＼&—＼&[f（x）]＼&↘＼&极小值＼&↗＼&极大值＼&↘＼&]

由上表知，[f（x）]的减区间为[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2a，+∞）]，[f（x）]的增区间为（[-1+1+8a2]，[-1-1+8a2]）.

（3）当[a>0]时，因为[x=-12a<0， h（0）=-2<0]，所以[h（x）=0]有一正一负两根，解得[x1=-1-1+8a2<0]或[x2=-1+1+8a2>0].

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&极小值＼&↗＼&]

由上表知，[f（x）]的减区间为[（0，-1+1+8a2）]，增区间为[（-1+1+8a2，+∞）].

综上所述，[a<0]时，[f（x）]的减区间为[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2，+∞）]，[f（x）]的增区间为[（-1+1+8a2，-1-1+8a2]. [a=0]时，[f（x）]的递减区间为（0，2），递增区间为（2，+∞）. [a>0]时，[f（x）]的递减区间为[（0，-1+1+8a2）]，增区间为[（-1+1+8a2，+∞）].

变式3  若函数[f（x）=ax-1x-（a+1）lnx]，求[f（x）]在区间[2，3]上的最小值.

解析 [f（x）=a+1x2-a+1x=ax2-（a+1）x+1x2（x>0），]

设[p（x）=ax2-（a+1）x+1]，（注意这里方程的类型需要讨论）

（1）当[a=0]时，作出[p（x）=-x+1]的图象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0，]即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上单调递增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上单调递减.

（2）当[a<0]时，解[p（x）=0]得，[x=1]或[x=1a.]

因为[a<0]，作出[p（x）=ax2-（a+1）x+1]的图象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上单调递增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上单调递减.

所以[f（x）]在[2，3]上单调递减，

所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3].

（3）当[a>0]时，（注意这里两根与定义域需要讨论）

若[0<1a≤2]，即[a≥12]时，[x∈[2，3]]， [p（x）>0]，即[f（x）>0]，

所以[f（x）]递增，所以[fmin（x）=f（2）=2a-12-（a+1）ln2.]

若[2<1a<3]，即[13

[x∈（2，1a）]，[p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]递减.

[x∈（1a，3）]，[p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]递增.

所以[fmin（x）=f（1a）=1-a+（a+1）lna.]

若[1a≥3]，即[0

所以[f（x）]递减，所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3.]

综上所述，[fmin（x）=3a-13-（a+1）ln3（a≤13），1-a+（a+1）lna（13

小结  在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论.

①若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负、零进行分类讨论;

②若需考虑判别式Δ，需对Δ>0，Δ=0，Δ<0进行分类讨论;

③在求最值或单调区间时，由[f（x）=0]解出的根， 需与给定区间内的两个根比较大小进行分类讨论.

分类讨论的思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”.在分类讨论时，要注意：①分类对象确定，标准统一;②不重复，不遗漏;③分层次，不越级讨论.