动能定理的三点应用

徐高本

动能定理表达式是由牛顿第二定律F=ma和运动学公式推导出来的，但它的应用范围却广泛得多。

1.若是恒力作用下的匀变速直线运动，不涉及加速度和时间，用动能定理求解一般比用牛顿运动定理和运动学公式简便。

例1 在海滨游乐场里有一种滑沙的游乐活动。如图1所示，人坐在滑板上从斜坡的高处由静止开始滑下，滑到斜坡底端B点后沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来。若某人和滑板的总质量m=60.0kg，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数相同，大小为μ=0.50，斜坡的倾角θ=37°。斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g取10m/s²。若出于场地的限制，水平滑道的最大距离为L=20.0m，则人在斜坡上滑下的距离AB应不超过多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析

根据动能定理得：mgsinθS_AB-。即AB不应超过50m。

点评

此题也可以用牛顿第二定律与匀变速直线运动规律来求解，但用动能定理求解比用牛顿运动定律求解更方便。

2.应用于变力作用的运动过程。

如果所研究的问题中有多个力做功，其巾只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能的增量也比较容易计算时，巧用动能定理就可以灵活求出这个变力所做的功。

例2 如图2所示，质量为，m的物体置于光滑水平面上，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F作用下，以恒定速率νo竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角θ=45°的过程中，绳中拉力对物体做的功为（）。

物体由静止开始运动，绳中拉力对

物体是变力，所做的功等于物体增加的动能。物体运动到绳与水平方向夹角θ=45°时的速率设为ν，有νcos45°=νo，则。所以绳的拉力对物体做的功为。答案为B。

点评

本题涉及运动的合成与分解、功、动能定理等多方面知识，要求我们理解动能定理的含义，并能够应用矢量的分解法则计算瞬时速度。

例3 如图3，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图4所示，图像为半圆。则小物块运动到x₀处时的动能为（）。

解析

由于水平面光滑，所以拉力F即为合外力，F随位移x的变化图像包围的面积即为F做的功，设x₀处的动能为E_k，由动能定理得，由图知x₀=2F_m，故，所以选项C正确。

3.应用于分析多过程运动问题。

在用动能定理解题时，如果物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的分过程（如加速、减速的过程），可以分段考虑，也可以全程考虑，如能对整个过程列式，则可使问题简化。

例4 如图5所示的装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均巾很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s=5m，轨道CD足够长且倾角θ=37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h₁=4.30m、h₂=1.35m。现让质量为m的小物块自A点由静止释放。已知小物块与轨道BC间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

（1）小物块第一次到达D点时的速度大小；

（2）小物块第一次与第二次通过C点的时间间隔；

（3）小物块最终停止的位置距B点的距离。

解析

（1）对于小物块从A到B到C再

到D的过程由动能定理得：

将，h₁、h₂、s、μ、g代人得：V_D=3m/s。

（2）对于小物块从A到B再到C的过程，由动能定理得：

将代入得：。

小物块沿CD段上滑的加速度大小

小物块沿CD段上滑到最高点的时间

由于对称性可知小物块从最高点滑回C点的时间t₂=t₁=ls。

故小物块第一次与第二次通过C点的时间间隔t=t₁+t₂=2s。

（3）对小物块运动全过程利用动能定理，设小滑块在水平轨道上运动的总路程为s总，有。将，代入得

故小物块最终停止的位置距B点的距离为2sS_总=1.4m。

点评

动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与在这两个状态之间外力所做总功的量值关系，应用动能定理解答运动问题时，只需要考虑力在整个位移内做的功和这段位移始末两状态的动能变化，无需注意物体的运动性质、运动轨迹及运动状态变化的细节。

例5 如图6所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧的圆心角为120°，半径R=2.0m，一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=1Om/s2）

解析

由于物体在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上做永不停息的往复运动，即物体运动至B点或C点时速度均为O。由于在物体只在BEC圆弧上做永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为，摩擦力所做的功为，由动能定理得

解得s=280 m。

点评

对于物体来回往复运动的问题，若能由动能定理对整个过程列式求解，可以不考虑运动过程的细节，能大大简化数学运算。

跟踪练习：

1.如图7，汽车通过轻质光滑的定滑轮，将一个质量为m的物体从井中拉出，绳与汽车连接点距滑轮顶点高h，开始绳绷紧，滑轮两侧的绳都竖直，汽车以νo向右匀速运动，运动到跟汽车连接的细绳与水平方向夹角θ=30°，则（）。

A.从开始到绳与水平方向夹角为30°时，拉力做功mgh

B.从开始到绳与水平方向夹角为30°时，拉力做功

C.从开始到绳与水平方向夹角为30°时，拉力做功

D.在绳与水平方向夹角为30°时，绳对滑轮的作用力为

参考答案：1.B。