平面向量中的数学思想方法

周其洁

平面向量中的数学思想方法是解决平面向量问题的主要思想方法。下面举例说明，供大家参考。

一、化归思想

侧1 若α，β∈0，π），求满足cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2的α，β值。

解：原等式化为（1-cosβ）cosα+sinβsinα=构造向量α=（1-cosβ，sinβ），b=（cosα，sina）。

由，可得

由，可得，即，所以，即得。同理可得。故。

评析：向量的引入大大拓宽了本题的解题思路，利用向量这个工具解题，可以简捷、规范地处理三角函数中的许多问题。

二、函数与方程思想

例2 已知向量a，b不共线，，若A，B，D三点共线，求实数k的值。

解：因为而a与b不共线，所以。

又A，B，D三点共线，所以共线。由两个向量共线，可知存在实数A，使得，即2a+kb=λa-4λb。

因为向量a与b不共线，所以由平面向量基本定理可得

评析：利用两个向量共线的条件与平面向量基本定理解题，其实质是解二元一次方程组问题。

三、分类讨论思想

侧≥ 试确定由向量所作的△ABC，它的一个角为直角时的k值。

解：①当A为直角时，由，得2×。②当B为直角时，，由，得2×，即。③当C为直角时，由，即

综上可知，或或

评析：解此题时有些同学容易考虑不周，以偏概全，只解一种情况（即A为直角时），应引起大家注意。

四、数形结合思想

例4 求，的值。

解：如图1所示，将边长为1的正七边形ABCDEFG放入直角坐标系中，则AB=（1，O），

由，可得

评析：向量具有几何和代数的双重身份，是中学数学知识的一个交汇点。本题用平面向量的几何意义求三角函数的值，其解题思路直观，解法简捷。