浅谈“整体处理法”在向量问题中的应用

冯克永 胡家权

北宋文豪苏东坡有句形容庐山的名句：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。他那全面而辩证的哲理、含蓄而隽永的思辨能力，完全适用于数学解题，即从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，运用“块状”思维，把一些貌似独立而实质上又紧密联系的“量”视为整体，则常常能出奇制胜，找到简捷解法。下面结合实例，浅谈“整体处理法”在向量问题中的应用。

例1 已知a，b是单位向量，a·b=0。若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是（）。

解：由题意可得|（c-a-b）+（a+b）|。由绝对值不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，可得，选A。

点评

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，对所求问题进行整体处理，使得解题过程简洁明了。

例2 在平面上，。若，则的取值范围是（）。

解：寻找之间的关系是解题的突破口。由，可知四边形为矩形，所以，两式相加得，可得。因为，所以，可得，选D。

点评

本题动点多，不易下手，但通过整合条件，可发现四边形为矩形，由其对角线性质得，再将两式平方相加是破解此题的神来之笔，值得回味。

例3 在△ABC中，

解：向量的运算性质：①；②，两式相加可得，所以，解得

点评

利用余弦定理和解方程的思想也可以求解此题，但总体上没有利用运算性质①②求解简便。

例4 若平面向量a，b满足|2a-b|≤3，则a·b的最小值是______。

解：利用向量的运算性质4a·b求解。

由4×2a·b=，即得a·（当且仅当b=-2a时不等式取“=”号）。所以a·b的最小值是。

点评

巧用向量的运算性质，进行整体处理，凸显向量模的价值，也使得问题的解决更简洁。

例5 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C 所对的边长，a=4，b=5，c=6，I为△ABC的内心，求的值。

解：。要求及的运算量较大，可利用“整体处理法”求的值。

如图1，过点I分别作ID⊥AB，IE⊥AC，IF⊥BC，其点D，E，F为垂足，则cos∠IAB。由三角形内切圆的切线性质可得，解得，所以

点评

此题将向量的数量积整体化归为切线长，再利用切线长定理求解，其方法独特，避繁就简。