平面向量知识点解读及常考题型分析

乔国颖

平而向量是高中数学的重要内容，是高中数学中数形结合思想的典型体现。近几年高考对平面向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系命题形式的多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，充分彰最平而向量知识的交汇价值。

一、知识点解读

1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量。向量的大小叫做向量的模。

（2）零向量：长度等于O的向量，其方向是任意的。

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量。规定：0与任一向量共线。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2.向量的线性运算

求两个向量和的运算（或几何意义）：三角形法则或平行四边形法则。求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差。

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b=λa。

4.平而向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平而内的任意向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂使a=λ₁e₁+λ₂e₂，其中不共线的向量e₁，e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

5.平面向量共线的坐标表示

设a=（x₁y₁），b=（x₂，y₂），其中b≠0，当且仅当x₁y₂-x₂，y₁=0时，向量a，b共线。

6.两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b（图略），令∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），则θ叫做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；如果a与6的夹角是90。，我们说a与b垂直，记作a⊥6。

7.两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的央角为θ，则|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即a·b=|a||b|cos0。规定零向量与任一向量的数量积为O，即O·a=0。

8.向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积。

9.向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b（或e）的夹角。

（l）e·a-a·e=|a|cosθ。

（2）a⊥b<=>a·b=0。

（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|。特别地，a·a=|a|²或者

（5）|a·b|≤|a||b|。

10.向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是川向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题。

（1）证明线段平行、点共线或相似问题，常用共线向量定理：a∥b<=>a=λb（b≠0）<=>x₁y₂-x₂y₁=0

（2）证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b<=>a·b=0<=>x₁x₂+y₁y₂=0。

（3）利用夹角公式，求夹角：（θ为a与b的夹角）。

二、常考题型分析

1.平面向量的基本概念

与平面向量的概念有关的命题的真假判断问题，其关键在于理解平面向量的概念，还应注意两个向量相等满足的条件及零向量的特殊性。

例1，下列说法正确的是（）。

A.方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量是0

C.长度相等的向量叫做相等向量

D.共线向量是在一条直线上的向量

解：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，A错误。零向量的表示方法是0，B正确。方向相同且模相等的两个向量是相等向量，而长度相等的向量不一定是相等向量，C错误。方向相同或相反的非零向量又叫共线向量，D错误。应选B。

跟踪练习1：对于非零向量a，b，下列命题中正确的是（）。

A.a∥6=>a在b上的投影为|a|

B.a·b=O=>a=0或b=0

C.a⊥b=>a·6=（a·b）²

D.a·c=b·c=>a=b

提示：a在b上的投影为当a∥b时，cosθ=±1，可得|a|cosθ=±|a|，A错误。a，b是非零向量，显然B错误。a⊥b=>a·b=0=>a.b=（a·b）²，C正确。向量的数量积中消去律不成立，D错误。应选C。

2.平面向量的线性运算

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法。共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则。

侧2设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则|AM|=（）。

A.8

B.4

C.2

D.l

解：因为，而，所以。应选C。

跟踪练习2：在△ABC中，AE=2EB BC=，则=（）。

A.

B

C

D

提示：，应选A。

3.共线向量定理及其应用

共线向量定理的条件和结论是等价关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数。利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点。

侧了 已知A，B，C是直线l上三点，M是直线l外一点，若，则x，y满足的关系是（）。

A.x+y=O

B.x+y>1

C.x+y<1

D.x+y=l

解：因为A，B，C是直线l上三点，所以A，B，C三点共线，则（k∈R）。。由以上三个式子联立可以得到，整理可得，而已知条件中有由此可得x=l+k，y=-k，所以x+y=l。选D。

跟踪练习3：已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=_____。

提示：由c=ta+（l-t）b，得b·c=ta·b+（1-t）bz=0，即得tla llblcos 60.+（1 t）lbl-=0，化简得.所以t=2。

4.平面向量基本定理的应用

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，其中共线向量定理的应用起着至关重要的作用。当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的。

例4 如图1，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的一个动点。若，则x+4y的取值范围是____。

解：过点C作CE∥OB，交OA于点E，再作CF∥OA，交OB于点F。

由四边形OECF是平行四边形，可得

由与是共线向量且与是共线向量，可得。

由OE与OA同向，OF与OB同向，可得x=

x、y均为正数且x+4y中y的系数较大，点C沿弧AB由点A向点B运动的过程中，变短而变长。当点C与点A重合时，x=1达到最大而y=0达到最小，此时x+4y有最小值为1；当点C与点B重合时，x=0达到最小而y=1达到最大，此时有最大值为4。所以的取值范围足[1，4]。

跟踪练习4：若α，β是一组基底，向量，则称为向量y在基底α，β下的坐标。已知向量a在基底p=（1，-1），q=（2，1）下的坐标为（-2，2），则向量α在另一组基底m=（-1 .1），n=（1.2）下的坐标为（）。

A.（2.0） B.（O，-2） C.（-2，0） D.（O，2）

提示：由条件可得a=-2p+2q=（-2，2）+（4，2）=（2，4）。

设a=lm+mn=l（-1，1）+m（1，2）-（-l+m，l+2m）.则-l+m=2，l+2m=4，解得l=0，m=2。

所以向量α在另一组基底m=（-l，1），n=（l，2）下的坐标为（0，2），选D。

5.平面向量的坐标运算

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点坐标和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标。

例5 在平面直角坐标系中，0为坐标原点，设向量，其中a=（3，1），b=（l，3）。若，则点C的所有可能位置区域用阴影表示正确的是（）。

解：，令，可知点C对应区域在直线y=x的上方，应选A。

跟踪练习5：已知两点A（1，O），B（1，），0为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，则λ=（）。

A. -1

B.2

C.l

D. -2

提示：由条件知0A=（1，0），OB=（1，），

由已知条件∠AOC=120°，可得cos∠AOC=

所以，解得λ=1，应选C。

6.平而向量共线的坐标运算

向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数的值。如果向量是用坐标表示的，就可以利用两个向量共线的等价条件列出方程，求解其中的参数值。

例6 已知向量a=（2.3），b=（-1，2）.若ma+nb（mn≠0）与a-2b共线，则m/n等于（）。

解：因为ma+nb=（2m-n，3m+2n）.a-2b=（4，-l），所以（2m-n）×（-l）-（3m+2n）×4=0，可得，应选A。

跟踪练习6：已知向量，则

A.-4

B.-9

C.-3

D.-l

提示：由向量，得

由，得（-l）=0，解得λ=-3。应选C。

7.求向量的数量积

在求向量的数量积的过程中，要充分利川共线向量定理和平面向量基本定理以及解三角形知识。

例7 设0是△ABC的三边中垂线的交点，a.b，c分别为角A，B，C对应的边长，已知，则BC·AO的取值范围是____。

解：O是△ABC的三边中垂线的交点.则O是△ABC外接圆的圆心。

如图2所示，延长AO交外接圆于点D。由AD是⊙0的直径，可知∠ACD=∠ABD=90。。因为cOs，所以

因为，所以O

令，所以当时，有最小值。因为.所以，可知的取值范围是

跟踪练习7：如图3，已知O为△ABC所在平面上一点，若，则0为△ABC的（）。

A.内心

B.外心

C，垂心

D.重心

提示：由，可得

因为，可得OB⊥AC，所以点O在AC边上的高BE上。

同理可得，点0在BC边上的高AF和AB边上的高CD上。

所以点O是△ABC三条高线的交点，因此点0是△ABC的垂心，选C。

8.平面向量的模

常见解法有：①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模。②不把向量放在坐标系中，可利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式求向量的模。

例8 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

其中的真命题是（）。 解：由1，得2+2cosθ>1， cosθ>，可知o≤θ<

由1，得2-2cosθ>l，cosθ<，可知

应选A。

跟踪练习8：已知直角梯形ABCD，AD∥13C，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，求的最小值。

提示：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图4所示的直角坐标系xDy。

由题设可知A（2，0），设C（0，c），P（0，y），则B（l，c），。由，可得，当且仅当时等号成立，所以当时，有最小值5。

9.平面向量共线与垂直问题

平面向量的坐标表示可使平面向量的运算完全代数化，从而可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直问题。

例9 已知向量与的夹角为120°，且若，且，则实数λ的值为____。

解：由向量与的夹角为l20°，且可得

由，得，即，所以，即，解得

跟踪练习9：已知向量a=（-1，3），b=（x+1，-4），且（a+b）∥b，则x=（）。

A.3

B.1/3

c.-3

D.-1/3

提示：由a=（-1，3），b=（x+1，-4），可得a+b=（x，-1）。又（a+b）∥b，所以-4z+x+1=0，解得x=1/3。选B。

10.平面向量与其他知识的交汇问题

平面向量与其他知识的交汇问题是高考的常考题型，值得大家重视。

例10 函数.f（x）=2sin（ωx+ψ）（）的图像如图5所示，则

A.8

B.-8

解：由图像可知，，所以T=π，可得ω=2。

又，得。

所以。

从而点，于是，可得，选C。

跟踪练习IO：已知非零向量a，6满足a⊥b，则函数是（）。

A.奇函数又是偶函数

B.非奇非偶函数

C.奇函数

D.偶函数

提示：由a⊥b，可得a·b=0，所以，可知为偶函数，选D。

11.平面向量中的新定义问题

这类问题的特点是背景新颖，信息量大。解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程中

例11 （2014年高考安徽卷）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量，和均由2个a和3个b排列而成。记S=表示S所有可能取值中的最小值。下列的正确命题是____（写出所有正确命题的编号）。

①S有5个不同的值。

②若a⊥b，则Smin与|a|无关。

③若a∥b，则Smin与|b|无关。

④若|b|>4|a|，则Smin>0。

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|²，则a与b的夹角为π/4。

解：S可能的取值有3种情况：，所以S最多只有3个不同的值。

因为a，6是不相等的向量，所以以，可得

对于①，可知明显错误。

对于②，当a⊥b时，Smin与|a|无关，知②正确。

对于③，当a∥b时.Smin与|b|有关，知③错误。

对于④，设a，b的夹角为θ，则，所以0，知④正确。

对于⑤，可得，又，可知，知⑤错误。答案为②④。

跟踪练习11：在边长为1的正六边形ABCDFF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；记以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为。若，m.M分别为（的最小值和最大值，其中则m，M满足（）。

A.m=O，M>O

B.m<0，M>O

C.m<0，M=O

D.m<0，M

提示：如图6，只有，其余均有，应选D。