浅探数学教学中学生创新思维的培养

李卫平

[摘要]实施创新教育，培养学生的创新思维是新时代的要求.结合自身的教学经历，从五个方面简要阐述了在数学教学中如何培养学生的创新思维.

[关键词]数学教学创新思维培养

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140033

江泽民总书记曾经指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力.”“教育是知识创新、传播和应用的主要基地，也是培养创新精神和创新人才的重要摇篮.”创新教育是我国教育界的一项重要任务.创新精神、创新意识和创新思维的培养与训练，应当贯穿于整个教育过程中.那么，数学教学中我们应如何培养学生的创新思维呢？下面谈谈我的几点认识.

一、 打破创新思维的障碍

打破创新思维的障碍是培养学生创新思维的前提.数学教学中，学生创新思维的培养主要有两个方面的障碍：一是来自于教育者.由于教师不恰当的教学方法或者本身缺乏爱心，使得学生对教师有一种畏惧感.教师的一些不当做法无意中扼杀了学生的个性，造成了学生思维的闭塞.那么，作为教师，首先，必须充分认识学生、尊重学生、热爱学生，保护学生的创造热情，不轻易否定学生，多鼓励、肯定学生.其次，教师要不断地给自己充电，努力学习先进的教学理念，树立正确的教育观，经常进行教学反思，做到使教学活动生动、有趣、灵活.只有创造性的教学才能培养出创新型的人才.二是来自于受教育者的厌学心理.学生厌学的原因是多方面的.出现这种情况，教师有责任也有义务对其进行教育.第一，加强学生的人生观、价值观的教育，端正学生的学习态度.对于高等师范院校的学生来说，他们没有高考的压力，如果再没有具体的人生目标，往往就会迷失方向.第二，激发学生学习数学的兴趣，帮助学生克服厌学心理.兴趣是推动一切活动的动力源，是求知的起点，是思维培养和能力提高的内在动力.所以说，兴趣是最好的老师.在很多人看来，数学是一门抽象而又枯燥的学科，让人望而生畏.其实，这只是一些人对数学的误解.数学和我们的生活是密不可分的，数学的每个知识点的原型都是从生活中提取出来的，是最精华的一部分.所以说，学数学其实就是在学生活中的点滴.将数学融入生活中去学习、去理解，其乐无穷.

二、发展学生的观察能力

教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创新.任何一种理论，不管它有多么深刻、多么抽象，都是从观察、分析经验材料开始的.观察的深刻与否，决定着创造性思维的形成与否.因此，要教会学生观察的方法和技巧，引导他们去观察，让他们在观察中发现问题、提出问题，从而为创造性地解决问题奠定基础.例如：已知cosα=17，cos（α+β）=-1114，且α、β∈（0，π2），求cosβ的值.学生初次遇到这种问题时，如果不仔细地观察，一般的做法是将cos（α+β）=-1114展开.但如果教师能很好地引导学生观察题中的条件与所求，让学生探究α、α+β、β之间的关系，也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系，学生也就不难得到sin（α+β）的关系式，然后利用公式求值即可.由此可见， 深刻的观察、细致的分析、有创见的思维模式可以帮助我们简化问题的处理.

三、 培养学生的质疑能力

质疑，表现出来的是一种求知欲、一种探索精神，孕育着创造.我国古代教育家早就提出“前辈谓学贵为疑，小疑则小进，大疑则大进”“学从疑生，疑解则学成”等观点.教师要培养学生勇于探索的精神，为学生提供良好的探索环境，鼓励学生敢于质疑、寻根问底.在数学教学过程中，教师放手让学生亲自探索知识的形成过程，让学生带着问题追根究底，把数学知识的形成过程转化为学生思维活动的过程.例如，在讲解“两角和与差的余弦”时，我是这样开始新课的：“同学们，前面我们学习了任意角的三角函数，我们知道它也是一种运算.在以前的运算中，有乘法分配公式a（b+c）=ab+ac，那么cos（α+β）=cosα+cosβ是否也成立呢？如果成立，请说明理由;如果不成立，请找出正确的分解式.”这一系列问题不但能激发学生的学习兴趣，引发学生自主思考，而且可以培养学生的质疑能力.

四、培养学生的讨论习惯

创新教育要求师生之间形成民主平等的和谐关系，要为学生提供思考、探索、发现和创新的空间，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，进而形成有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境和教学体系.在课堂教学中，合理地安排一些讨论话题是十分必要的.学生讨论的过程实际上是相互学习、相互竞争、相互诱导、相互激活的过程.通过讨论促进学生的学习，培养学生的参与意识，促使学生从多角度、多层次去思考问题，从而产生创新思维的火花.比如，对难题的讨论;对一题多解的讨论;对数学知识与日常生活相结合的讨论;等等，这些均能调动学生思考的积极性，拓宽学生的思维空间.学生思维的闸门一旦被开启，就有了“想象”，有了“创造”.

五、加强学生各种思维方法的训练

加强学生各种思维方法的训练能够促进学生创新思维的形成.首先，加强发散性思维训练.一题多解是培

解：由题意可设：f（x）=ax2+bx+c，且a≠0，

则f（x-1）+f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c

=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4，对x∈R恒成立.

从而有2a=2

2b=-4

2a+2c=4

，∴

a=1

b=-2

c=1

，

∴f（x）=x2-2x+1.

小结：当已知函数的类型时，常用此法.

四、消元法

1.方程消元法

【例4】已知f（x）+2f（1x）=x，求f（x）.

解：∵f（x）+2f（1x）=x.①

∴ 以1x代替①式中x，得f（1x）+2f（x）=1x.②

∴①-②×2得：-3f（x）=x-2x，即f（x）=2-x23x.

小结：当已知x与1x或x与-x的函数值为一个方程时，可考虑用此法.

2.赋值消元法

【例5】已知函数f（x）对任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ xy，且f（1）=1，若x∈N，试求f（x）的解析式.

解：令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0）+0，

∴f（0）=0.

令y=1，则f（x+1）=f（x）+f（1）+x=f（x）+1+x，

∴f（x+1）-f（x）=x+1.①

令①中的x=1，2，3，…，n-1，n，得f（2）-f（1）= 2，f（3）-f（2）=3， f（4）-f（3）= 4，…，

f（n-1）-f（n-2）= n-1，f（n）-f（n-1）= n，以上各式左右两边分别相加得：

f（n）=f（1）+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n（n+1）2，当n=0时，f（0）=0成立.

故f（x）的解析式为f（x）=x（x+1）2，x∈N.

小结：在解决含有多个变量的抽象函数问题时可考虑使用此法.

五、代入法

【例6】已知函数f（x）=2x+1与函数y=g（x）的图像关于直线x=2成轴对称图形，试求函数y=g（x）的解析式.

解：设M（x，y）在所求函数的图像上，点M′（x′，y′）是点M关于直线x=2的对称点，则

x′=4-x

y′=y

，

又y′=2x′+1，∴y=2×（4-x）+1=9-2x，即g（x）=9-2x.

小结：当以函数图像的对称性为已知条件或解决平移问题时，都可考虑用此法.

六、利用复合函数与分段函数的定义

【例7】若f（x）=x2-1，g（x）=

x-1x≥0

2-xx<0

，

求：（1）f（x2-1）;（2）f（g（x））;（3）g（f（x））.

解：（1）∵f（x）=x2-1，∴f（x2-1）=（x2-1）2-1=x4-2x2.

（2）∵f（x）=x2-1，g（x）=

x-1x≥0

2-xx<0

，

∴f（g（x））

=

（x-1）2-1x≥0

（2-x）2-1x<0

=

x2-2xx≥0

x2-4x+3x<0

.

（3）若x2-1≥0，则x≤-1或x≥1;若x2-1<0，则-1

∴g（f（x））=

（x2-1）-1x≤-1或x≥1

2-（x2-1）-1

=

x2-2x≤-1或x≥1

3-x2-1

.

七、利用函数的奇偶性或周期性

【例8】设函数f（x）的定义域为R上的奇函数，且在定义域为R上总有

f（x） = -f（x+2），又当-2≤x≤-1时，f（x）=x2 +2x.

求：

（1）当1≤x≤2时，函数f（x）的解析式;

（2）当2≤x≤3时，函数f（x）的解析式.

解：（1）设x∈[1，2]，则-x∈[-2，-1]，

因为f（x）是奇函数，

所以f（x）=-f（-x）=-[（-x）2+2（-x）]=-x2+2x，

故当1≤x≤2时，f（x）=-x2+2x.

（2）由f（x） = -f（x+2），得f（x+4） = -f（x+2）=f（x），

所以f（x）是周期函数，且4为f（x）的一个周期.

因为 2≤x≤3 ， 所以 -2≤x-4≤-1 .又因 -2≤x≤-1 时， f（x）=x2+2x .

所以当 2≤x≤3 时，有f（x-4）=（x-4）2 +2（x-4） ，

故当 2≤x≤3 时，f（x）=（x-4）2 +2（x-4）=x2-6x+8.

小结：解决此类问题的关键是确定函数的周期性，再利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.

以上简要介绍了几种常见的求函数解析式的方法，希望大家在求函数解析式时，具体问题具体分析，选择适当的方法求解，从而进一步培养自己的思维能力、运算能力、想象能力以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

（责任编辑钟伟芳）