学习“逻辑联结词”问题例谈

张月红

摘要]学习逻辑联结词对培养学生的思维能力和推理能力很有帮助.在教学中，教师应引导学生深刻理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义及学习逻辑联结词时所需要注意的事项.

[关键词]简易逻辑 逻辑联结词命题

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140016

简易逻辑是高中数学的新增内容，它对培养学生的思维能力和推理能力很有帮助.以集合或逻辑关系为背景的应用性问题，构思巧妙，解法灵活，解答这类问题，要深刻理解原始概念.

一、深刻理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义

简易逻辑中的“或” “且” “非”的逻辑意义与日常用语中的“或” “且” “非”有很大区别，它的本质与集合中的“并” “交” “补”有着惊人的相似，我们可以用集合的观点理解它，不能仅凭自己的经验来判断和处理简易逻辑中与“或” “且” “非”有关的问题.

第一，简易逻辑中的“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义不完全相同.日常用语中的“或”是两个任选一个，不能都选，有“不可兼有”之意，而简易逻辑中的“或”可以两个都选，但不是必须都选，而是两者中至少选一个，即有“可以兼有”之意，但并不意味着“一定兼有”.例如，“今天天晴或下雨”，日常用语中指天晴或下雨，二者必具其一;而按数学中的简易逻辑意义来理解，则天晴和下雨有可能同时发生.

对逻辑中“或”的理解，可联想到集合中的“并集”这个概念，即可视为集合中的“并”.对于复合命题“p或q”，在真值表中“p”与“q”“一真则真、同假才假”.

第二，简易逻辑中的“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，就是日常用语中的“和”“与”.例如，命题：“3和9都是奇数”，它表示“3是奇数”且“9是奇数”是一个真命题.又如，“空气既无颜色又无气味”，它表示“空气无颜色”且“空气无气味”是一个真命题.日常用语中和数学逻辑中理解意义一致.

对逻辑中“且”的理解，可联想到集合中的“交集”这个概念，即可视为集合中的“交”.对于复合命题“p且q”，在真值表中“p”与“q”“一假则假、同真才真”.

第三，简易逻辑中的“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，就是日常用语中的“否定”.例如，命题：“3不是偶数”，它表示“3是偶数”的否定形式.

对逻辑中“非”的理解，可联想到集合中的“补集”这个概念，相当于集合在全集中的补集.正面叙述的词语与否定词语所分别确定的集合的交集为空集，并集为全集.对于复合命题“非p”，在真值表中“p”与“非p”真假性恰好相反.例如，命题：“甲、乙都对”，从日常用语上说其否定是“甲、乙都不对” ，而从简易逻辑的意义上说其否定是“甲、乙不都对”，包括三种可能：“甲对，乙不对” “甲不对，乙对” “ 甲不对，乙不对”.

二、学习逻辑联结词三注意

1.注意真值表的作用

【例1】判断下列命题是简单命题还是复合命题.

（1）方程x2-3x+2=0的两根是1或2;

（2）不等式x2-x-6<0的解是x>-2且x<3.

错解以上两个命题都是复合命题，其中（1）是“或”命题，（2）是“且”命题.

剖析容易看出（1）（2）都是真命题.若将（1）看成“或”命题，便会得出与真值表相矛盾的结论.因为“方程x2-3x+2=0的根是1”“方程x2-3x+2=0的根是2”都是假命题.同样若将（2）看做是“且”命题，也得出与真值表相矛盾的结论.因为“x2-x-6<0的解是x>-2”“x2-x-6<0的解是x<3”都是假命题.所以以上两个命题都是简单命题.

2. 注意逻辑联结词的位置

【例2】已知命题p：方程x2-3x+2=0的根是1，命题q：方程x2-3x+2=0的根是2，写出“p或q”.

错解p或q：方程x2-3x+2=0的根是1或2.

剖析上述解法似乎顺理成章，学生很容易就想到这样作答，可是上题中的p，q都是假命题，所以“p或q”也应是假命题，而上述解答中写出的p或q命题却是真命题，该如何解释呢？

由教材中复合命题的定义，可知复合命题“p或q”与“p且q ”是用逻辑联结词“或”与“且”去联结两个命题p与q，而不是用逻辑联结词“或”与“且”去联结两个命题的条件或结论，上述解法错误的原因是用“或”联结两个命题的结论.正确答案是p或q：方程x2-3x+2=0的根是1或方程x2-3x+2=0的根是2.

3. 注意命题中“是”的真正含义

【例3】 已知命题p：方程x2-1=0的根是1，写出“非p”.

错解┐p：方程x2-1=0的根不是1.

剖析显然上题中命题p与非p都是假命题，与真值表相矛盾.该如何解释呢？

命题p之所以不真，主要是因为命题的结论不唯一，方程x2-1=0的根不一定是1，也可能是-1，因此命题中的“是”实际上起到了“都是”的作用.事实上，命题p应为：方程x2-1=0的根都是1，┐p应为：方程x2-1=0的根不都是1.

综上可知，逻辑联结词是简易逻辑的基础和关键，我们在对其进行应用时，应善于利用复合命题的真值表进行理性的分析和思考，洞察问题的本质，从反面入手或将问题加以转化.