牛顿第二定律中a与F/m成正比的推理

王琴平

一、引言

牛顿第二定律是高一物理最重要的规律之一，它是联系力学与运动学的重要桥梁。对于牛顿第二定律规律的教学，大部分老师都是把只它看做实验规律，并要求同学们记住该结论，或默认它的正确性再采用控制变量法去验证它。然而，这并不符合我们认识自然规律的一般过程。对于陌生的未知规律，它的呈现形式有多种可能性。对于未知的规律，我们往往是从经验和已有认知的基础上先对其进行合理的猜想，再通过数学逻辑推理或实验的方法去验证我们的猜想是否正确。

二、猜想与探究实验

在阐述牛顿第二定律之前有两个重要的探究实验，第一个是探究加速度与质量的关系，第二个探究加速度与合外力的关系。从生活经验的角度出发，我们很容易看出如果用相同的合外力分别启动火车、汽车、摩托车，他们获得的加速度不同，质量最小的摩托车获得加速度最大，质量较大的火车获得的加速度最小，因此我们猜想在合外力相同的情况下，加速度和质量成反比。对于同一种车，用不同大小的合力去启动，合力越大，获得的加速度越大，由此我们猜想，在质量不变的情况下，加速度和合力成正比。通过大量的实验也验证了我们猜想的正确性。

三、數学推理

然而，我们通过实验验证加速度a与质量m成反比，与合力F成正比后，我们并不是很轻易的可以得出a与F/m成正比的结论。从学生初中的数学知识储备出发，加速度a与质量m成反比，可写成数学表达ma=k1 ①（其中k1和m无关）

加速度与合外力成正比，可写成数学表达a=k2 F ②

（其中k2和F无关）

联立 ① ② 我们可以得到ma2=k1k2 F，a2=k1k2 F/m

似乎得到a2与F/m 成正比的结论，而与粤教版教材91页中的a与F/m 成正比的结论相违背。难道是牛顿第二定律的结论错了么？

牛顿第二定律没错，而是我们推导时容易忽视隐含信息，其中k1是和m无关，但却是合力F的函数，在F一定的情况下，k1 才是确定的。而k2和F无关，但却是m的函数，只有在m一定的情况下，k2才是确定的。因此，当m或F在变化的时候，k1k2 不再是与F/m无关的常数。因此不能得出a2与F/m 成正比的结论。那要怎样就能得出a与F/m 成正比的结论呢？

生活经验告诉我们加速度a是合外力F和质量m的二元函数，由此a=f（F，m），由实验规律：在质量一定的情况下，加速度与合力成正比，我们可以得到a=g（m）F （g（m）是关于质量的函数，与F无关）;

由实验规律：在合力一定的情况下，加速度与质量成反比，我们可以得到：a=h（F）/m （h（F）是合外力的函数，与m无关）;

由此我们得到 g（m）m=h（F）/F

方程左边与F无关，式子右边与m无关。

那么我们可以得出结论g（m）m=h（F）/F=k

（其中k是和m、F均无关的常数）

由此我们可以求出g（m）= k/m，h（F）=kF，因此a=kF/m

即加速度a与F/m 成正比，教材结论正确。