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牛顿第二定律中a与F/m成正比的推理

2015-05-30王琴平

杂文月刊·教育世界 2015年5期
关键词:成正比外力合力

王琴平

一、引言

牛顿第二定律是高一物理最重要的规律之一,它是联系力学与运动学的重要桥梁。对于牛顿第二定律规律的教学,大部分老师都是把只它看做实验规律,并要求同学们记住该结论,或默认它的正确性再采用控制变量法去验证它。然而,这并不符合我们认识自然规律的一般过程。对于陌生的未知规律,它的呈现形式有多种可能性。对于未知的规律,我们往往是从经验和已有认知的基础上先对其进行合理的猜想,再通过数学逻辑推理或实验的方法去验证我们的猜想是否正确。

二、猜想与探究实验

在阐述牛顿第二定律之前有两个重要的探究实验,第一个是探究加速度与质量的关系,第二个探究加速度与合外力的关系。从生活经验的角度出发,我们很容易看出如果用相同的合外力分别启动火车、汽车、摩托车,他们获得的加速度不同,质量最小的摩托车获得加速度最大,质量较大的火车获得的加速度最小,因此我们猜想在合外力相同的情况下,加速度和质量成反比。对于同一种车,用不同大小的合力去启动,合力越大,获得的加速度越大,由此我们猜想,在质量不变的情况下,加速度和合力成正比。通过大量的实验也验证了我们猜想的正确性。

三、數学推理

然而,我们通过实验验证加速度a与质量m成反比,与合力F成正比后,我们并不是很轻易的可以得出a与F/m成正比的结论。从学生初中的数学知识储备出发,加速度a与质量m成反比,可写成数学表达ma=k1 ①(其中k1和m无关)

加速度与合外力成正比,可写成数学表达a=k2 F ②

(其中k2和F无关)

联立 ① ② 我们可以得到ma2=k1k2 F,a2=k1k2 F/m

似乎得到a2与F/m 成正比的结论,而与粤教版教材91页中的a与F/m 成正比的结论相违背。难道是牛顿第二定律的结论错了么?

牛顿第二定律没错,而是我们推导时容易忽视隐含信息,其中k1是和m无关,但却是合力F的函数,在F一定的情况下,k1 才是确定的。而k2和F无关,但却是m的函数,只有在m一定的情况下,k2才是确定的。因此,当m或F在变化的时候,k1k2 不再是与F/m无关的常数。因此不能得出a2与F/m 成正比的结论。那要怎样就能得出a与F/m 成正比的结论呢?

生活经验告诉我们加速度a是合外力F和质量m的二元函数,由此a=f(F,m),由实验规律:在质量一定的情况下,加速度与合力成正比,我们可以得到a=g(m)F (g(m)是关于质量的函数,与F无关);

由实验规律:在合力一定的情况下,加速度与质量成反比,我们可以得到:a=h(F)/m (h(F)是合外力的函数,与m无关);

由此我们得到 g(m)m=h(F)/F

方程左边与F无关,式子右边与m无关。

那么我们可以得出结论g(m)m=h(F)/F=k

(其中k是和m、F均无关的常数)

由此我们可以求出g(m)= k/m,h(F)=kF,因此a=kF/m

即加速度a与F/m 成正比,教材结论正确。

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