如何提高运算能力

谢高峰

运算求解能力主要是指根据数学概念、公式、法则对数、式等进行正确运算和变形的能力；分析条件，寻求并设计合理、简捷的运算途径的能力；根据要求对数据进行估计，并进行正确运算的能力.运算求解能力是影响学生数学成绩的主要因素之一. 事实上，我们的数学运算求解能力存在许多问题：如运算速度慢，正确率低，机械套用公式，只注重运算结论而不注重求解过程，求解步骤不合理，过繁或过简等.因此，如何采取具有针对性的能改善运算求解能力的措施，是一个需要认真研究的问题.

对研究对象的理解和建模能力

对数学研究对象（包括数学定义、公式、法则和定理等）的准确理解和把握是提高我们运算求解能力的基础和前提.我们的运算求解过程，实际上就是从问题的条件和求解目标出发，分析其中涉及的概念、公式、法则或定理，并寻求它们的关系，抽象出其中的数学模型. 这种数学模型也往往表现出一种特定的数学结构或关系（数学表达式），通过建模求解，最终算出结果.求解同样一个模型时所选用的依据不同，就会造成运算求解过程的繁简程度不同.

例1 求[|x+1x|]的最小值.

普解 （1）当[x>0]时，[|x+1x|=x+1x≥2]，当且仅当[x=1]时等号成立.

（2）当[x<0]时，[|x+1x|=-x+1-x≥2]，并且当且仅当[x=-1]时等号成立.

综上所述，当且仅当[x=±1]时，[|x+1x|]最小值是2.

优解 [|x+1x|=|x|+1|x|≥2]，

当且仅当[|x|=1|x|]，即[x=±1]时取等号.

所以[|x+1x|]的最小值是2.

对运算求解方法的选择能力

对运算求解方法选择的恰当与否直接决定着运算过程的繁简和运算量的大小.少数同学的运算求解能力比较强，主要体现在其能选择合理的运算求解方法，减少运算量，从而保证运算的准确、迅速.

例2 当[a=45-1]时，求[12a3-a2-2a+1]的值.

普解 部分同学直接将[a=45-1]代入多项式，运算非常麻烦且容易出错.

优解 而懂得运用技巧的会注意到[a]的分母是无理式，先将其变形为[a=5+1]，再进一步变为[a-1=5]，并把多项式进行变形，从中析出[（a-1）2]，进而简化运算.

[∴12a3-a2-2a+1=12a（a-1）2-52a+1=52a-52a+1.]

挖掘信息的能力

充分挖掘已知条件、结论中所隐含的信息是寻求与设计合理、简捷的运算求解途径的必要条件.研究中发现，考生能否准确、快速地进行运算并求出结果，这在很大程度上取决于其能否深入挖掘题目中的信息.

例3 已知[an]是等比数列，且[an>0，a2a4+2a3a5][+a4a6=25]，那么[a3+a5=]（ ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

普解 设首项为[a1]，公比为[q]， 则由题意得，

[a1q?a1q3+2a1q2?a1q4+a1q3?a1q5=25].

所以[a21q4（1+2q2+q4）=25].

又[a1>0，q>0，]

所以[a1q2（1+q2）=5]，

即[a1q2+a1q4=5].所以[a3+a5=5].

优解 对条件“[an]是等比数列”进行深度挖掘.根据等比数列的性质，可知[a2a4+2a3a5+a4a6=25]，

即[a23+2a3a5+a25=25].

所以[（a3+a5）2=25].

又[a3+a5>0]，所以[a3+a5=5].

运用数学思想和方法的能力

高中阶段的数学思想主要有数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.具体的数学方法还包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等. 对这些数学思想和方法的运用能力也是运算求解能力的一个重要组成部分.

例4 求函数[y=（x-3）2+x2+（x-4）2+（x-1）2]的最小值.

简析 此题若直接反复平方计算，肯定不可取，大部分同学无从下手.而少部分人则会考虑从几何意义入手，[y]为平面直角坐标系中直线[y=x]上的点[（x，x）]到点（3，0）与点（4，1）的距离之和，因此只需找出点（3， 0）关于直线[y=x]的对称点（0， 3），求出点（0， 3）与点（4，1）之间的距离即可.解得[zmin=（0-4）2+（3-1）2=25].

运算求解过程的简捷性

运算求解过程的简捷性是指运算求解过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算用时省.运算求解过程的简捷是运算合理性的标志，也是提高运算速度的要求.高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中对概念的灵活应用、公式的恰当选择.运算求解过程的简捷性也是对考生思维深刻性、灵活性的考查.

例5 设椭圆的两个焦点分别为[F1]，[F2]，过点[F2]作椭圆长轴的垂线交椭圆于点[P]. 若[△F1PF2]为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .

普解 如图，设[P（c，y）]，代入椭圆的方程可求得[y=b2a].

由题意可知，[2c=b2a].

又[b2=a2-c2]，

所以[a2-c2=2ac]，

即[c2+2ac-a2=0].

两边同除以[a2]得，[e2+2e-1=0].

解方程得[e=2-1]或[e=-2-1]（舍）.

优解 对知识掌握较好的人则会充分利用[△F1PF2]为等腰直角三角形这个条件求解.

由[F1F2=2c]可得，

[PF2=2c，PF1=22c].

所以[2a=2c+22c].

则[e=2c2a=2c2c+22c=12+1=2-1].