智取填空题

李家洪

填空题是将一个数学真命题写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求考生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.

特点 解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误.填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活.

类型 根据填空时所填写的内容，可以将填空题分成两种类型. 一是定量型，要求填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等.由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.

原则 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.

特殊化求解法

当答案是定值且用的特殊值是题意的某种情况时，那么我们用特例求解就能起到好的效果.特殊化求解就是用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设中的普遍条件，得出一般的结论.常用的特例有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等.

例1 （2015年湖北七市州统考卷）意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列[an]称为“斐波拉契数列”，那么[a21+a22+a23+???+a22015a2015]是斐波拉契数列中的第 项.

解析 此题初看无从下手，但分析后发现：[a21a1]=1，[a21+a22a2]=2，[a21+a22+a23a3]=3，[a21+a22+a23+a24a4]=5，…，再根据变化规律由特殊到一般可推出[a21+a22+a23+???+a22015a2015]为第2016项.

数形结合法

数形结合法就是利用图象或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等）与某些图形结合起来，利用几何直观性，再辅以计算，求出正确答案的方法.每年高考均有很多填空题（也有选择题、解答题）都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.

例2 （2014年高考江苏卷）已知[f（x）]是定义在[R]上且周期为3的函数，当[x∈[0，3）]时，[f（x）=x2-2x+12.]若函数[y=f（x）-a]在区间[[-3，4]]上有10个零点（互不相同），则实数[a]的取值范围是 . [1 2 3 4 5][-3 -2 -1][4

3

2

1][-1]

解析 [f（x）]是定义在[R]上且周期为3的函数，在同一坐标系中画出函数[y=f（x）]与[y=a]的图象，即可由图象知[a∈（0，12）].

构造法

根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决问题.

例3 已知在[△ABC]中，[a=10]，[c-b=8]，则[tanB2tanC2]= .

解析 由条件△ABC中，a=10，c-b=8，可联想构造双曲线. 以BC所在直线为轴，BC中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得点[A（x，y）]在双曲线[x216-y29=1]的右支上，作△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，则BD+DC=10，BD-DC=AB-AC=8，则BD=9，DC=1，[tanB2tanC2=][ODBD?CDOD=CDBD=19.]

开放型填空题

开放型填空题主要有两种类型，一是多选型填空题，二是新定义型填空题.多选型填空题是指给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论.试题具有结论不惟一，且某些答案有迷惑性、以偏概全、考查概念及考查某种特殊情况等特点.在解决不成立问题时常采用举反例的方法.新定义型填空题是指定义新情景，给出一定容量的新信息，要求考生依据新信息进行解题，此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系，要求考生有较强的分析转化能力.

例4 （2014年高考安徽卷）已知两个不相等的非零向量[a，b]，两组向量[x1，x2，x3，x4，x5]和[y1，y2，y3，y4，y5]均由2个[a]和3个[b]排列而成.记[S=x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4+x5?y5]，[Smin]表示[S]所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.

①[S]有5个不同的值

②若[a⊥b]，则[Smin]与[a]无关

③若[a∥b]，则[Smin]与[b]无关

④若[|b|>4|a|]，则[Smin>0]

⑤若[|b|=2|a|，Smin=8|a|2]，则[a]与[b]的夹角为[π4]

[解析S有三种结果：S1=a·a+a·a+b·b+b·b+b·b，S2=a·a+a·b+b·a+b·b+b·b，]

[S3=a·b+a·b+b·a+b·a+b·b.]

[故（1）错误.又S1-S2=S2-S3，]

[a2+（b）2a·b≥a2+b2-2a?b=（a-b）2≥0，∴S中的最小值为S3，若a⊥b，则Smin=S3=（b）2，与a无关，故（2）正确.若ab，则Smin=S3=a·b+（b）2与b有关，故（3）错误.若b>4a，则Smin=S3=a·b+（b）2=4a?bcosθ+（b）2>-4a?b+（b）2>-b2+b2=0，故（4）正确.若b=2a，则Smin=S3=a·b+（b）2=8a2cosθ+4a2=8a2，2cosθ=1，∴θ=π3，故（5）错误.所以正确编号为（2）（4）.]

例5 将杨辉三角中的每一个数[Crn]都换成[1（n+1）Crn]，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出[1（n+1）Crn+1（n+1）Cxn=1nCrn-1]，其中[x=] .令[an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1（n+1）C2n]（[n≥2]），则比较大小： [an] [12]（填“>”“<”或“=”）.

[11]

[12] [12]

[13] [16] [13]

[14] [112] [112] [14]

[15] [120] [130] [120] [15]

…

解析 第一空通过观察可得[x=r+1].

第二空的关键是发现[n≥2]时，

[1（n+1）?C2n=2（n-1）?n?（n+1）=1（n-1）n-1n（n+1）]，

叠加可求得[an=12-1n（n+1）<12].